.Problema para ajudar na escola: Os números das casas do meu condomínio

Problema
(A partir do 7º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)


(XXX OPM – Adaptado) No condomínio onde moro, as casas são numeradas de 1 a 100 e são pintadas ou de branco ou de amarelo.
Para determinar a cor, é aplicada a seguinte regra: somam-se os algarismos do número da casa;

  • se a soma for ímpar, a casa é pintada de branco;
  • se a soma for par, a casa é pintada de amarelo.

Por exemplo, a casa 25 está pintada de branco e a casa 75 está pintada de amarelo.

Agora há pouco, dei um passeio pelo meu condomínio e somei todos os números das casas pintadas de branco. Que número obtive?

Solução


Vamos distribuir os números de [tex]0[/tex] a [tex]99[/tex] em uma tabela [tex]10 \times 10[/tex] para melhor visualizar o problema. Construímos uma célula especial para o número [tex]100[/tex].

Observe que a resposta do problema é a soma das células brancas da tabela mais [tex]100.[/tex] Vamos, então, obter essa soma.

[tex]\;Soma= (1 + 3 + 5 + 7 + 9) + (10 + 12 + 14 + 16 + 18) + \cdots \\
\quad \quad \qquad \cdots+ (90 + 92 + 94 + 96 + 98) + 100 [/tex]
[tex]\;\begin{align*} Soma= &\underbrace{(1 + 3 + 5 + 7 + 9)}_{25} + [5 \times 10+\underbrace{(0+2 + 4 + 6 + 8)}_{20}] +\\
&+[5 \times 20+\underbrace{(1 + 3 + 5 + 7 + 9)}_{25}]+[5 \times 30+\underbrace{(0+2 + 4 + 6 + 8)}_{20}] +\\
&+[5 \times 40+\underbrace{(1 + 3 + 5 + 7 + 9)}_{25}]+[5 \times 50+\underbrace{(0+2 + 4 + 6 + 8)}_{20}]+\\
&+[5 \times 60+\underbrace{(1 + 3 + 5 + 7 + 9)}_{25}]+[5 \times 70+\underbrace{(0+2 + 4 + 6 + 8)}_{20}]+\\
&+[5 \times 80+\underbrace{(1 + 3 + 5 + 7 + 9)}_{25}]+[5 \times 90+\underbrace{(0+2 + 4 + 6 + 8)}_{20}] + 100 \end{align*}[/tex]
[tex]\quad Soma= 5\times 25+5 \times 20+\\
\qquad \qquad \quad + 5 \times (10+20+30+40+50+60+70+80+90) + 100 [/tex]
[tex]\quad Soma= 125+100+5 \times 450+ 100 [/tex]
[tex] \quad Soma= 125+100+2250+ 100 [/tex]
[tex] \quad Soma= 2575. [/tex]
Portanto, o número obtido com a soma dos números das casas pintadas de branco foi [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$2\,575$}\,.[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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