.Problema para ajudar na escola: Os m’s

Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Fácil)


(Adaptado da ONEM – 2009) Seja [tex]g[/tex] uma função tal que

[tex]\qquad \qquad g\left(\dfrac{x}{2} \right)=x^2-x-\dfrac{7}{9}, \forall x \in \mathbb{R}[/tex].

Qual a soma de todos os números reais [tex] \, m \, [/tex] tais que [tex]g\left(\dfrac{m}{6} \right)=-1[/tex]?

Solução


Substituindo [tex]x[/tex] por [tex]\dfrac{m}{3}[/tex] na expressão que define a função [tex]g[/tex], segue que:

[tex]\qquad \qquad g\left(\dfrac{\frac{m}{3}}{2} \right)=\left(\dfrac{m}{3}\right)^2-\dfrac{m}{3}-\dfrac{7}{9}[/tex]

[tex]\qquad \qquad g\left(\dfrac{m}{6} \right)=\dfrac{m^2}{9}-\dfrac{m}{3}-\dfrac{7}{9}.[/tex]

Impondo [tex]g\left(\dfrac{m}{6} \right)=-1[/tex], temos:

[tex]\qquad \qquad -1=\dfrac{m^2}{9}-\dfrac{m}{3}-\dfrac{7}{9}[/tex]

[tex]\qquad \qquad -9=m^2-3m-7[/tex]
[tex]\qquad \qquad m^2-3m+2=0[/tex]
[tex]\qquad \qquad \left(m-1\right)\left(m-2\right)=0.[/tex]
Dessa forma, os valores reais de [tex]m[/tex] que satisfazem [tex]g\left(\dfrac{m}{6} \right)=-1[/tex] são [tex]\boxed{m_1=1} \, [/tex] e [tex] \, \boxed{m_2=2}[/tex], cuja soma é [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$3$} \, .[/tex]


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