.Problema para ajudar na escola: Os filhos de Cláudia

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)

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Cláudia tem três filhos: Fábio, Felipe e Iuri.
Daqui a três anos, as idades de Iuri, Felipe e Fábio serão proporcionais a $3$, $5$ e $7$, nesta ordem.
Daqui a doze anos, as idades de Iuri, Felipe e Fábio serão proporcionais a $3$, $4$ e $n$, igualmente nesta ordem.
Determinar $n$.

Solução

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Daqui a três anos, as idades de Iuri, Felipe e Fábio serão proporcionais a $3$, $5$ e $7$; assim, existe $k$ tal que as três idades serão, respectivamente, $3k$, $5k$ e $7k$.
Dessa forma, podemos supor que:

• atualmente as idades de Iuri, Felipe e Fábio são, respectivamente, $3k-3$, $5k-3$ e $7k-3$ ;
• dentro de doze anos, as idades de Iuri, Felipe e Fábio são, respectivamente, $(3k-3)+12$, $(5k-3)+12$ e $(7k-3)+12 .$

Mas temos a informação de que, daqui a doze anos, as idades de Iuri, Felipe e Fábio serão proporcionais a $3$, $4$ e $n$, nesta ordem; portanto, temos que:

$\dfrac{(3k-3)+12}{3}=\dfrac{(5k-3)+12}{4}= \dfrac{(7k-3)+12}{n} .\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}$

Perceba que, da primeira igualdade, segue que:

$\quad \dfrac{(3k-3)+12}{3}=\dfrac{(5k-3)+12}{4}$

$\qquad \dfrac{3k+9}{3}=\dfrac{5k+9}{4}$
$\qquad 12k+36=15k+27$
$\qquad 3k=9$
$\qquad \boxed{k=3}.$
Agora, substituindo $k=3$ em $\textcolor{#800000}{(i)}$ , segue que
$\qquad \dfrac{18}{3}=\dfrac{24}{4}= \dfrac{30}{n}$ ,
donde podemos concluir que $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=5$}$ .

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.