.Problema para ajudar na escola: OMIRP

Problema
(A partir do 7º ano do E. F.) (Nível: Médio)


Seja [tex]n[/tex] um número natural primo.
Dizemos que [tex]n[/tex] é omirp se, ao escrevermos os seus algarismos na ordem inversa, obtemos também um número primo, mas diferente de [tex]n[/tex].
Por exemplo, [tex]13[/tex] e [tex]17[/tex] são omirp’s, já que [tex]31[/tex] e [tex]71[/tex] são também primos. Consequentemente, [tex]31[/tex] e [tex]71[/tex] são também omirp’s.
Encontrar mais quatro números de dois algarismos com essa propriedade.

Solução


Observe que:

  • [tex]2[/tex] é o único número primo que é par;
  • [tex]5[/tex] é o único número primo terminado em [tex]5[/tex].

Dessa forma podemos concluir que os algarismos de um omirp de dois dígitos são ímpares, mas diferentes de 5; assim omirp’s de dois dígitos só podem ser compostos pelos algarismos [tex]1[/tex], [tex]3[/tex], [tex]7[/tex] e [tex]9[/tex].
Perceba também que os dois dígitos devem ser distintos, pois ao inverter os algarismos devemos obter um primo diferente do original.
Assim, parece que não ficamos com muitas possibilidades, não é?
Formando novos omirp’s obtemos: [tex]\boxed{37; 73; 79; 97}[/tex].


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Complicando um pouquinho . . .


Observando a análise abaixo, vemos que temos apenas oito omirp’s com dois dígitos, os que encontramos e os dados no enunciado do problema: [tex]\boxed{13; 17; 31; 37; 71, 73; 79; 97}[/tex].

  • [tex]13[/tex] é omirp, pois é primo e [tex]31[/tex] é primo;
  • [tex]17[/tex] é omirp, pois é primo e [tex]71[/tex] é primo;
  • [tex]19[/tex] é primo, mas não é omirp, pois [tex]91[/tex] não é primo;
  • [tex]31[/tex] é omirp, pois é primo e [tex]13[/tex] é primo;
  • [tex]37[/tex] é omirp, pois é primo e [tex]73[/tex] é primo;
  • [tex]39[/tex] não é primo: [tex]39=3\times 13[/tex];
  • [tex]71[/tex] é omirp, pois é primo e [tex]17[/tex] é primo;
  • [tex]73[/tex] é omirp, pois é primo e [tex]37[/tex] é primo;
  • [tex]77[/tex] não é primo: [tex]77=7\times 11[/tex];
  • [tex]79[/tex] é omirp, pois é primo e [tex]97[/tex] é primo;
  • [tex]91[/tex] não é primo: [tex]91=7\times 13[/tex];
  • [tex]93[/tex] não é primo: [tex]93=3\times 31[/tex];
  • [tex]97[/tex] é omirp, pois é primo e [tex]79[/tex] é primo.

Mas, quantos são os omirp’s com três dígitos?
É, procurar os com três dígitos é um pouco mais trabalhoso. Vejam alguns exemplos:

[tex]\begin{array}{|c|c|} \hline 107 & 701 \\ \hline 113 & 311 \\ \hline 149 & 941\\ \hline 157 & 751\\ \hline 167& 761\\ \hline 179 & 971\\ \hline 199& 991\\ \hline continua & \cdots \\ \hline\end{array}[/tex]

Tentem completar a tabela; para isso, esta lista pode ajudar!

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