.Problema para ajudar na escola: Números “não 2-3-5”

Problema
(A partir do 7º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


Um número natural [tex]n[/tex] é dito não 2-3-5 se satisfaz simultaneamente as seguintes condições:

    [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex] [tex]n[/tex] não é divisível por [tex]2[/tex];
    [tex] \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] [tex]n[/tex] não é divisível por [tex] 3[/tex];
    [tex] \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] [tex]n[/tex] não é divisível por [tex] 5[/tex];
    [tex] \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex] nenhum dígito de [tex]n[/tex] é divisível por [tex]2[/tex];
    [tex] \textcolor{#800000}{(v)}[/tex] nenhum dígito de [tex]n[/tex] é divisível por [tex]3[/tex];
    [tex] \textcolor{#800000}{(vi)}[/tex] nenhum dígito de [tex]n[/tex] é divisível por [tex]5[/tex].

Por exemplo, [tex]71[/tex] é um número não 2-3-5.
Quantos números não 2-3-5 com três dígitos existem?

Solução


Seja [tex]N=abc[/tex] um número não 2-3-5 com três dígitos.

  • Observe que:

      • [tex]0, \, 2, \, 4, \, 6, \, 8[/tex] são divisíveis por [tex]2[/tex],
      • [tex]0, \, 3, \, 6, \, 9[/tex] são divisíveis por [tex]3[/tex],
      • [tex]0, \, 5[/tex] são divisíveis por [tex]5[/tex],

    logo, temos apenas duas opções para os dígitos [tex]a, \, b, \, c[/tex] de [tex]N[/tex]: [tex]1[/tex] ou [tex]7 \, .[/tex]

  • Por outro lado,

      • [tex]1+1+1=3 \, [/tex],
      • [tex] \, 1+1+7=9 \, [/tex],
      • [tex] \, 1+7+7=15 \, [/tex],
      • [tex] \, 7+7+7=21 \, [/tex]

    e [tex] \, 3, \, 9, \, 15, \, 21[/tex] são todos divisíveis por [tex]3 \, .[/tex] Com isso, qualquer número de três dígitos formado pelos algarismos [tex]1[/tex] e [tex]7[/tex] tem a soma de seus algarismos divisível por [tex]3 \, [/tex], donde é, também, divisível por [tex]3 \, .[/tex]

Assim, não existem números não 2-3-5 com três dígitos.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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