.Problema para ajudar na escola: Números em uma lousa

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Fácil)


Quantos números da lista da lousa mostrada na figura não têm dígitos iguais a um número primo?

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Ajuda

Princípio Fundamental da Contagem para três eventos: Se um evento A puder ocorrer de [tex] m [/tex] maneiras, um evento B puder ocorrer de [tex]n [/tex] maneiras, um evento C puder ocorrer de [tex]p [/tex] maneiras e A, B e C forem eventos independentes entre si, então a quantidade de maneiras em que os três eventos ocorrem ao mesmo tempo é [tex]\boxed{m\times n \times p} \, .[/tex] (Se você não se lembra do Princípio Fundamental da Contagem, clique AQUI.)

Solução


Inicialmente, vamos contar quantos dentre os números [tex]100, \, 101, \, 102, \, 103, \, \cdots \, , \, 998 \, , \, 999[/tex] não têm dígitos iguais a um número primo e, para isso, observe que:

  • Temos números de três dígitos, assim, além de [tex] \, 2, \, 3, \, 5, \, 7 \, [/tex], o primeiro dígito não pode ser [tex]0 \, .[/tex]
    Dessa forma, temos cinco possibilidades para os algarismos das centenas:[tex] \, 1, \, 4, \, 6, \, 8 \, , \, 9 \, .[/tex]
  • Para os algarismos das dezenas, temos seis possibilidades: [tex]0, \, 1, \, 4, \, 6, \, 8 \, , \, 9 \, .[/tex]
  • Para os algarismos das unidades, também temos seis possibilidades: [tex]0, \, 1, \, 4, \, 6, \, 8 \, , \, 9 \, .[/tex]

[tex]\begin{array}{c c c}
\textcolor{blue}{\underline{\qquad 5 \, possibilidades \qquad}}& \textcolor{red}{\underline{ \qquad 6 \, possibilidades\qquad }}&\textcolor{green}{\underline{\qquad 6 \, possibilidades\qquad }}\\
\textcolor{blue}{\text{algarismo das centenas}}& \textcolor{red}{\text{algarismo das dezenas}}& \textcolor{green}{\text{algarismo das unidades}}
\end{array}[/tex]

Portanto, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos [tex]5\times 6\times 6=180 [/tex] números de [tex]100 \, [/tex] a [tex] \, 999[/tex] que não têm dígitos primos.
Finalizando, já que o número [tex]100[/tex] está incluído na relação dos [tex]180[/tex] números que acabamos de contar, temos [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$180-1=179$} \, [/tex] números sem algarismos primos de [tex]101 \, [/tex] a [tex] \, 999 \, .[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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