.Problema para ajudar na escola: Multiplicando números e letras

Problema
(A partir do 6º ano do E. F.) (Nível: Médio)


Na multiplicação a seguir, as letras diferentes representam algarismos diferentes.

[tex]\qquad \qquad \begin{array}{ c c c}
A & B & 4 \\
\times & & B \\
\hline
7 & D & 2 \\
\end{array}[/tex]

Qual é o algarismo [tex]D[/tex]?

Solução


Observando a tabuada do [tex]4[/tex], percebemos que temos apenas duas possibilidades para o algarismo [tex]B[/tex], [tex]B=3[/tex] e [tex]B=8[/tex], já que:
[tex]\qquad 4\times 1=4 \qquad 4\times 2=8 \qquad \boxed{4\times 3=1 \textcolor{Red}{2}} \qquad 4\times 4=16 \qquad 4\times 5=20\\
\qquad 4\times 6=24 \qquad 4\times 7=28 \qquad \boxed{4\times 8=3\textcolor{Red}{2}} \qquad 4\times 9=36. [/tex]
Analisemos cada uma delas.

  • Se [tex]B=3[/tex], podemos reescrever a multiplicação tratada no problema da seguinte forma:
    [tex]\qquad \qquad \begin{array}{ c c c}
    A & 3 & 4 \\
    \times & & 3 \\
    \hline
    7 & D & 2 \\
    \end{array}[/tex]
    Neste caso, efetuando o primeiro e o segundo produtos indicados na multiplicação, segue que:
    [tex]\qquad \qquad \begin{array}{ c c c}
    ^1A &^1 3 & 4 \\
    \times & & 3 \\
    \hline
    7 & 0 & 2 \\
    \end{array}[/tex]
    Assim, [tex]A=2[/tex] e a opção [tex]B=3[/tex] é possível.
    [tex]\qquad \qquad \begin{array}{ c c c}
    2 & 3 & 4 \\
    \times & & 3 \\
    \hline
    7 & 0 & 2 \\
    \end{array}[/tex]

  • Se [tex]B=8[/tex], podemos reescrever a multiplicação tratada no problema da seguinte forma:
    [tex]\qquad \qquad \begin{array}{ c c c}
    A & 8 & 4 \\
    \times & & 8 \\
    \hline
    7 & D & 2 \\
    \end{array}[/tex]
    Neste caso, efetuando o primeiro e o segundo produtos indicados na multiplicação, segue que:
    [tex]\qquad \qquad \begin{array}{ c c c}
    ^6A &^3 8 & 4 \\
    \times & & 8 \\
    \hline
    7 & 7 & 2 \\
    \end{array}[/tex]
    Perceba que não existe um algarismo [tex]A[/tex] tal que [tex]8\times A+6=7[/tex]; portanto, a opção [tex]B=8[/tex] não é possível.

Pelo exposto, [tex]B=3[/tex] é a única possibilidade e, portanto, o valor de [tex]D[/tex] é [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$0$}.[/tex]


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