.Problema para ajudar na escola: MMC e MDC

Problema
(A partir do 8º ano do E. F.- Nível de dificuldade: Fácil)


Calcule o quociente [tex]\boxed{ \dfrac{mmc(a,b)}{mdc(a,b)}}[/tex], sabendo-se que
[tex]\,\,\\
\qquad \bullet \,\, a=2^n \cdot 3^{n+1} \cdot 11[/tex]
e
[tex]\qquad \bullet \,\, b=2^{n+1} \cdot 3^n \cdot 5\, [/tex],

para algum número natural [tex]n[/tex].

Solução


Dados dois números naturais [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], como neste problema, podemos encontrar o [tex] mmc(a,b)[/tex] e o [tex] mdc(a,b)[/tex] a partir da decomposição de cada um em fatores primos, lembrando que:

  • o [tex] mmc(a,b)[/tex] é o produto de todos os fatores, comuns e não comuns, que aparecem nas respectivas decomposições, cada fator elevado ao maior expoente com que aparece nessas decomposições.
  • o [tex] mdc(a,b)[/tex] é o produto de todos os fatores comuns que aparecem nas respectivas decomposições, cada fator elevado ao menor expoente com que aparece nessas decomposições.

Assim, como [tex]n \lt n+1[/tex], segue que:

[tex]\qquad \dfrac{mmc(a,b)}{mdc(a,b)}=\dfrac{2^{n+1} \cdot 3^{n+1} \cdot 5^1 \cdot 11^1}{2^n \cdot 3^n }=\dfrac{\left(2\cdot 2^{n}\right) \cdot \left(3 \cdot 3^{n}\right) \cdot 5 \cdot 11}{2^n \cdot 3^n }[/tex]

[tex]\qquad \dfrac{mmc(a,b)}{mdc(a,b)}=\dfrac{2\cdot \cancel{2^{n}} \cdot 3 \cdot \bcancel{3^{n}} \cdot 5 \cdot 11}{\cancel{2^n} \cdot \bcancel{3^n}}=2\cdot 3\cdot\ 5\cdot 11 [/tex]
[tex]\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{mmc(a,b)}{mdc(a,b)}=330$}\,[/tex].


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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