.Problema para ajudar na escola: Meias soltas em uma gaveta

Problema
(A partir da 2ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Difícil)


Uma pessoa descuidada tem oito meias amarelas, seis azuis, quatro verdes e apenas uma vermelha, todas soltas em uma gaveta. Certo dia, com muita pressa, ela pegou na gaveta duas meias, uma e em seguida outra, sem olhar a cor delas.
Calcular a probabilidade de:
(a) As duas meias serem amarelas.
(b) As duas meias serem da mesma cor.
(c) Uma das meias ser a vermelha.
(d) Uma delas ser verde e a outra não.
(e) Uma delas ser verde e a outra azul.

Solução


Inicialmente observe que o total de meias na gaveta é [tex]8+6+4+1=19.[/tex] Agora, analisemos cada item proposto.
(a) Como as duas são da mesma cor, a ordem em que elas são retiradas é irrelevante.

  • Retirando-se, ao acaso, a primeira meia, a probabilidade de ela ser amarela é [tex]\frac{8}{19}[/tex].
  • Para a segunda meia, a probabilidade de que seja amarela será [tex]\frac{8-1}{19-1}=\frac{7}{18}[/tex].

Dessa forma, retiradas duas meias ao acaso, a probabilidade de que sejam ambas amarelas é dada por (veja o esqueminha abaixo):

[tex]\begin{array}{|c c c|}
\hline
\text{amarela}& \textcolor{red}{\text{e}}&\text{amarela}\\
\dfrac{8}{19} &\textcolor{red}{ \times} &\dfrac{7}{18_\,}\\
\hline
\end{array}\\[/tex]

[tex]\qquad \dfrac{8}{19} \times \dfrac{7}{18} =\dfrac{4 \times 7}{19 \times 9}=\dfrac{28}{171}\\
\, \, [/tex],
ou seja, aproximadamente [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$16,4\%$} \, .[/tex]

(b) Precisamos calcular a probabilidade de "as duas meias serem amarelas"ou "as duas meias serem azuis" ou "as duas meias serem verdes". (Observe que só existe uma meia vermelha na gaveta, então não é possível que as duas meias retiradas sejam vermelhas.)
Inicialmente, vamos repetir três vezes o raciocínio do item (a):

  • Probabilidade de as duas meias serem amarelas:
  • [tex]\qquad \dfrac{8}{19} \times \dfrac{7}{18} =\dfrac{56}{342} [/tex]

  • Probabilidade de as duas meias serem azuis:
  • [tex]\qquad \dfrac{6}{19} \times \dfrac{5}{18} =\dfrac{30}{342} [/tex]

  • Probabilidade de as duas meias serem verdes:
  • [tex]\qquad \dfrac{4}{19} \times \dfrac{3}{18} =\dfrac{12}{342} [/tex]

Dessa forma, retiradas duas meias ao acaso, a probabilidade de que ambas sejam amarelas ou sejam azuis ou sejam verdes é dada por (veja o esqueminha abaixo):

[tex] \begin{array}{|c c c c c c c c c c c |}
\hline
\text{“amarela}& \textcolor{red}{\text{e}}&\text{amarela”}&\textcolor{blue}{\text{ou}}&\text{“azul}& \textcolor{red}{\text{e}}&\text{azul”}&\textcolor{blue}{\text{ou}}&\text{“verde}& \textcolor{red}{\text{e}}&\text{verde”}\\
\dfrac{8}{19} &\textcolor{red}{ \times} &\dfrac{7}{18}&\textcolor{blue}{+}&\dfrac{6}{19} &\textcolor{red}{ \times} &\dfrac{5}{18}&\textcolor{blue}{+}&\dfrac{4}{19} &\textcolor{red}{ \times} &\dfrac{3}{18_{\,}}\\
\hline
\end{array}\\[/tex]

[tex]\qquad \dfrac{56}{342}+ \dfrac{30}{342}+\dfrac{12}{342}=\dfrac{98}{342}=\dfrac{49}{171}\\
\, \, [/tex],
ou seja, aproximadamente [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$28,7\%$} \, .[/tex]

(c) Para que uma das meias seja a vermelha uma de duas situações deve ocorrer: a primeira é vermelha e a segunda de qualquer das outras cores ou a primeira de qualquer das outras cores e a segunda vermelha.
Vamos aos cálculos:
[tex]\qquad \dfrac{1}{19} \times \dfrac{18}{18}+\dfrac{18}{19}\times \dfrac{1}{18}=\dfrac{1}{19}+\dfrac{1}{19}=\dfrac{2}{19}\\
\, \, [/tex],
ou seja, aproximadamente [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$10,5\%$} \, .[/tex] Veja o esqueminha abaixo.

[tex] \begin{array}{|c c c c c c c |}
\hline
\text{“vermelha}& \textcolor{red}{\text{e}}&\text{outra cor”}&\textcolor{blue}{\text{ou}}&\text{“outra cor}& \textcolor{red}{\text{e}}&\text{vermelha”}\\
\dfrac{1}{19} &\textcolor{red}{ \times} &\dfrac{18}{18}&\textcolor{blue}{+}&\dfrac{18}{19_{\,}} &\textcolor{red}{ \times} &\dfrac{1}{18}\\
\hline
\end{array}[/tex]

(d) Aqui vamos calcular inicialmente duas probabilidades:

  • a probabilidade de "a primeira meia retirada da gaveta ser verde e a segunda ser de outra cor"
  • [tex]\qquad \dfrac{4}{19} \times \dfrac{15}{18}[/tex],

  • a "a probabilidade de a segunda meia retirada ser verde e a primeira ser de outra cor"
  • [tex]\qquad \dfrac{15}{19} \times \dfrac{4}{18}.[/tex]

Como ocorre ou a primeira opção ou a segunda, a probabilidade de "uma meia ser verde e a outra não" é :
[tex]\qquad \dfrac{4}{19} \times \dfrac{15}{18}+\dfrac{15}{19} \times \dfrac{4}{18}=\dfrac{8 \times 15}{19 \times 18}=\dfrac{4 \times 5}{19 \times 3}= \dfrac{20}{57}\\
\, \, [/tex]
ou ainda, aproximadamente [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$35,1\%$} \, .[/tex] Veja o esqueminha.

[tex] \begin{array}{|c c c c c c c |}
\hline
\text{“verde}& \textcolor{red}{\text{e}}&\text{outra cor”}&\textcolor{blue}{\text{ou}}&\text{“outra cor}& \textcolor{red}{\text{e}}&\text{verde”}\\
\dfrac{4}{19} &\textcolor{red}{ \times} &\dfrac{15}{18}&\textcolor{blue}{+}&\dfrac{15}{19} &\textcolor{red}{ \times} &\dfrac{4}{18_{\,}}\\
\hline
\end{array}[/tex]

(e) Aqui também vamos calcular inicialmente duas probabilidades:

  • a probabilidade de "a primeira meia retirada da gaveta ser verde e a segunda ser azul"
  • [tex]\qquad \dfrac{4}{19} \times \dfrac{6}{18}[/tex],

  • a probabilidade de "a primeira meia retirada da gaveta ser azul e a segunda ser verde "
  • [tex]\qquad \dfrac{6}{19} \times \dfrac{4}{18}.[/tex]

Como ocorre ou a primeira opção ou a segunda, a probabilidade de "uma meia ser verde e a outra azul" é :
[tex]\qquad \dfrac{4}{19} \times \dfrac{6}{18}+\dfrac{6}{19} \times \dfrac{4}{18}=\dfrac{8 \times 6}{19 \times 18}=\dfrac{8 \times 1}{19 \times 3}= \dfrac{8}{57}\\
\, \, [/tex]
ou seja, aproximadamente [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$14\%$} \, .[/tex] Veja o último esqueminha.

[tex] \begin{array}{|c c c c c c c |}
\hline
\text{“verde}& \textcolor{red}{\text{e}}&\text{azul”}&\textcolor{blue}{\text{ou}}&\text{“azul}& \textcolor{red}{\text{e}}&\text{verde”}\\
\dfrac{4}{19} &\textcolor{red}{ \times} &\dfrac{6}{18}&\textcolor{blue}{+}&\dfrac{6}{19} &\textcolor{red}{ \times} &\dfrac{4}{18_{\,}}\\
\hline
\end{array}[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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