.Problema para ajudar na escola: Média aritmética e porcentagem

Problema
(A partir do 9º ano do E. F.- Nível de dificuldade: Médio)


Sabemos que a média aritmética de dois números é [tex]70\%[/tex] maior do que um desses números.
Então, esta média é menor do que quantos por cento do outro número?

Solução


Sejam [tex]x\;[/tex] e [tex]\;y[/tex] os números em questão. A informação de que a média aritmética desses números é [tex]70\%[/tex] maior do que um desses números pode ser traduzida matematicamente como [tex]\,\boxed{\,\dfrac{x+y}{2} = x+ 70\%\,x\,}\,.[/tex] Assim, temos a seguinte sequência de igualdades equivalentes:
[tex]\,\\\qquad \dfrac{x+y}{2} = x+ 70\%\,x \\
\qquad\dfrac{x+y}{2} = x+ 0,7x\\
\qquad\dfrac{x+y}{2} = 1,7x\\
\qquad x+y = 3,4x\\
\qquad y = 2,4x\\
\qquad 2,4x = y\\
\qquad x = \dfrac{y}{2,4}\\
\qquad x+y = \dfrac{y}{2,4}+y\\
\qquad x+y = \dfrac{3,4}{2,4}\,y\\
\qquad \dfrac{x+y}{2} = \dfrac{3,4}{4,8}\,y\\
\qquad \dfrac{x+y}{2} = (0,708333\cdots)\,y\,.\\
\qquad \dfrac{x+y}{2} = (0,708333\cdots)\,y+(y-y)\\
\qquad \dfrac{x+y}{2} = y+(0,708333\cdots-1)\,y\\
\qquad \dfrac{x+y}{2} = y-(0,291666\cdots)\,y\\
\,[/tex]
Assim, [tex]\dfrac{x+y}{2} \approx y-(0,2917)\,y[/tex], donde [tex]\dfrac{x+y}{2} \approx y-29,17\%\,y\,.[/tex]
A desigualdade [tex]\boxed{\,\dfrac{x+y}{2}\approx y-29,17\%\,y\,}[/tex] indica que a média aritmética dos dois números dados é aproximadamente [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$29,17\%$}[/tex] menor do que o outro número.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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