.Problema para ajudar na escola: Mais números em uma lousa

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Fácil)


(ONEM – 2010) Quantos números da sequência mostrada na lousa da figura são múltiplos ímpares de [tex]5[/tex], maiores do que [tex]6[/tex] e menores do que [tex]135 \, ?[/tex]

Solução


  • Observe que o menor múltiplo de [tex]5[/tex] maior do que [tex]6[/tex] da sequência mostrada na lousa é o [tex]10=5\times \boxed{2}[/tex] e que o maior múltiplo de [tex]5[/tex] menor do que [tex]135[/tex] é o [tex]130=5\times \boxed{26} \, .[/tex]
    Assim, os múltiplos de [tex]5[/tex] da sequência são da forma [tex]5n \, [/tex], com [tex]n \in \{2, \, 3, \, \cdots \, ,26\} \, .[/tex]
  • Mas queremos, ainda, que os múltiplos de [tex]5[/tex] em questão sejam ímpares; assim, [tex]n \, [/tex] deve ser um número ímpar, já que [tex]5[/tex] é ímpar e [tex]\boxed{\textcolor{red}{par\times \, ímpar=par}} \, .[/tex]

Pelo exposto, observamos que o número de múltiplos solicitado no problema é o número de elementos do conjunto [tex]\{3, \, 5, \, 7, \, \cdots \, ,25\} \, .[/tex]
Como
[tex]\quad 3=2\times \boxed{1}+1 \, , \, 5=2\times \boxed{2}+1 \, , \, 7=2\times \boxed{3}+1 \, , \, \cdots \, , \, 25=2\times \boxed{12}+1 \, [/tex],
concluímos que o conjunto [tex]\{3, \, 5, \, 7, \, \cdots \, ,25\}[/tex] tem [tex]12[/tex] elementos e, consequentemente, a quantidade de números da sequência mostrada na lousa da figura que são múltiplos ímpares de [tex]5[/tex], maiores do que [tex]6[/tex] e menores do que [tex]135 \, [/tex], é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$12$} \, .[/tex]


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