.Problema para ajudar na escola: Gatos X Ratos

Problema
(A partir do 7º ano do E. F.)


Em um galpão havia apenas gatos e ratos, na proporção de [tex]3[/tex] gatos para cada [tex]5[/tex] ratos, totalizando [tex]56[/tex] animais.
Em um dado momento, cada gato come exatamente um rato.
Quantos ratos sobreviveram?

Solução 1


Sejam [tex]g \, [/tex] o número de gatos e [tex] \, r \, [/tex] o número de ratos que estavam no galpão.
Assim, [tex]g+r=56[/tex] e [tex]\boxed{g=56-r} \, \quad \textcolor{#800000}{(i)}.[/tex]
Como a proporção de animais era de [tex]3[/tex] gatos para cada [tex]5[/tex] ratos, então [tex]\boxed{\dfrac{g}{r}=\dfrac{3}{5}}\quad \textcolor{#800000}{(ii)}.[/tex]
Substituindo [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], segue que:
[tex]\quad \dfrac{\textcolor{red}{g}}{r}=\dfrac{3}{5}[/tex]

[tex]\quad \dfrac{\textcolor{red}{56-r}}{r}=\dfrac{3}{5}[/tex]
[tex]\quad 5\times (56-r)=3\times r[/tex]
[tex]\quad 280-5r=3r[/tex]
[tex]\quad 280=3r+5r[/tex]
[tex]\quad 280=8r[/tex]
[tex]\quad r=\dfrac{280}{8}[/tex]
[tex]\quad \boxed{r=35} \, .[/tex]
Substituindo [tex]r=35[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(i)} \, [/tex], concluímos que [tex]\boxed{g=21} \, .[/tex]
Pelo exposto, havia [tex]21[/tex] gatos e [tex]35[/tex] ratos no galpão; portanto, como cada gato comeu exatamente um rato, sobreviveram [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$35-21=14$} \, [/tex] ratos.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2


  • Como no galpão havia gatos e ratos na proporção de [tex]3[/tex] gatos para cada [tex]5[/tex] ratos, vamos formar grupos de oito animais: [tex]3[/tex] gatos e [tex]5[/tex] ratos.
    O total de animais no galpão era [tex]56[/tex]; portanto, são [tex]56\div 8=7[/tex] os grupos formados.
  • Sabemos que cada gato come um rato; assim, podemos pensar que vão sobrar [tex]5-3=2[/tex] ratos em cada grupo que formamos.

Como foram formados [tex]7[/tex] grupos, sobreviveram [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$7 \times 2=14$} \, [/tex] ratos.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Gincana de 2017 – Clubes de Matemática da OBMEP
Nível A – Questão Fácil

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