.Problema para ajudar na escola: Fazendo negócios

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


A diretoria de vendas de uma determinada empresa decide que, ao produzir e vender [tex]x[/tex] unidades de certo produto, a receita total das vendas desse produto, em reais, deverá ser [tex]100 \sqrt{x}[/tex].
Se a produção de qualquer quantidade desse produto tem um custo fixo de [tex]R\$\, 1.200,00[/tex] e o custo por unidade produzida é de [tex]R\$ \, 2,00[/tex], para quais valores de [tex]x[/tex] a empresa não terá lucro nem prejuízo, isto é, a receita total das vendas será o custo variável mais o custo fixo?

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Ajudando a interpretar o problema…

Nesta ajuda, vamos falar um pouco sobre custo de um produto.
O custo de que trata o problema é todo e qualquer valor aplicado no momento da produção do produto. Assim, podemos considerar como custos a mão de obra, a matéria-prima e os insumos utilizados na produção, além da quantia despendida com energia elétrica, manutenção, depreciação de máquinas e equipamentos. Os custos podem ser classificados de diversas maneiras, de acordo com sua finalidade. Particularmente, quanto ao volume de produção, os custos são classificados em fixos e variáveis.
Custos Fixos
Custos fixos são aqueles que não sofrem alteração de valor em caso de aumento ou diminuição da produção. Independem, portanto, do nível de atividade e são conhecidos também como custos de estrutura.
Exemplos: Limpeza e conservação; aluguéis de equipamentos e instalações.
Possíveis variações na produção não irão afetar os gastos acima exemplificados, que já estão com seus valores fixados. Exatamente por isso é que são denominados de custos fixos.

Custos Variáveis
Classificamos como custos variáveis aqueles que variam proporcionalmente, de acordo com o nível de produção ou atividades. Seus valores dependem diretamente do volume produzido ou volume de vendas efetivado num determinado período.
Exemplos: Matérias-primas; insumos produtivos (água, energia).

Fontes: http://www.portaldecontabilidade.com.br/tematicas/custo-fixo-variavel.htm
http://www.dicionariofinanceiro.com/custo-e-despesa/

Solução


Para resolver o problema, basta traduzir matematicamente a frase "a receita total da vendas é igual ao custo variável mais o custo fixo”, a partir das informações do problema e supondo que [tex]n[/tex] seja a quantidade de unidades do produto em questão a ser produzida e vendida pela empresa.
Vamos lá!

  • Dados do problema:
    • Receita total da venda de [tex]n[/tex] unidades do produto: [tex]100 \sqrt{n}[/tex];
    • Custo variável para produção de [tex]n[/tex] unidades do produto: [tex]2n[/tex] reais;
    • Custo fixo para produção de [tex]n[/tex] unidades do produto: [tex]1200[/tex] reais.
  • Equacionando o problema:
    [tex]\qquad \text{receita total = custo variável + custo fixo}[/tex]
    [tex]\qquad \boxed{100 \sqrt{n} = 2n + 1200}. \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
  • Resolvendo a equação [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex]:

    [tex]\qquad 100 \sqrt{n} = 2n + 1200[/tex]

    [tex]\qquad \left(100 \sqrt{n} \right)^2= \left(2n + 1200 \right)^2[/tex]

    [tex]\qquad \left(100 \right)^2 \cdot\left(\sqrt{n} \right)^2= \left(2n\right)^2+2\cdot 2n \cdot 1200 + \left(1200\right)^2 [/tex]

    [tex]\qquad 10000n=4n^2+4800n +1440000[/tex]

    [tex]\qquad 4n^2-5200n +1440000=0[/tex]

    [tex]\qquad \dfrac{4n^2-5200n +1440000}{4}=\dfrac{0}{4}[/tex]

    [tex]\qquad n^2-1300n +360000=0 . \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]

    Aplicando a fórmula de resolução de uma equação do segundo grau à equação [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]:

    [tex]\qquad n=\dfrac{-\left(-1300\right) \pm\sqrt{\left(-1300\right)^2-4 \times 1 \times 360000}}{2 \times 1}[/tex]

    [tex]\qquad n=\dfrac{1300 \pm\sqrt{1690000-1440000}}{2}[/tex]

    [tex]\qquad n=\dfrac{1300 \pm\sqrt{250000}}{2}[/tex]

    [tex]\qquad n=\dfrac{1300 \pm 500}{2}[/tex]

    [tex]\qquad n=650\pm 250 [/tex] .

Obtemos, assim, duas raízes para a equação [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]: [tex]n_1=900[/tex] e [tex]n_2=400[/tex], e ambas satisfazem a equação [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex].
Portanto, a empresa terá receita total das vendas igual à soma do custo variável e do custo fixo se produzir e vender [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$900$} [/tex] ou [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$400$}[/tex] unidades do produto a que se refere o problema.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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