.Problema para ajudar na escola: Diagonais de um icoságono

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


Jorginho desenhou um icoságono regular e nomeou um de seus vértices de [tex]A[/tex]. Em seguida, traçou todas as diagonais desse polígono, exceto aquelas que têm [tex]A[/tex] como vértice.
Quantas foram as diagonais que Jorginho traçou?

Solução


Lembramos que um icoságono regular é um polígono com vinte vértices e vinte lados de mesmo comprimento. Assim, como as diagonais de um polígono são segmentos definidos por dois de seus vértices distintos e não consecutivos (observe que dois vértices consecutivos definem um lado e não uma diagonal de um polígono), então de cada vértice saem [tex]\boxed{20-3=17}[/tex] diagonais.
Como o icoságono tem vinte vértices, a princípio teríamos [tex]20 \times 17=340[/tex] diagonais. Mas perceba que nessa contagem cada diagonal está sendo contada duas vezes (a diagonal do vértice [tex]A [/tex] ao vértice [tex] V_{10} [/tex], por exemplo, é a mesma do vértice [tex]V_{10} [/tex] ao vértice [tex]A [/tex]); portanto, o número de diagonais do icoságono desenhado pelo Jorginho é [tex]\dfrac{340}{2}=170.[/tex]

Observe que, dessas [tex]170[/tex] diagonais, [tex]\boxed{20-3=17}[/tex] têm o ponto [tex]A [/tex] como extremidade; assim, Jorginho traçou [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$170-17=153$} \, [/tex] diagonais.

De modo geral, o raciocínio que fizemos para determinar o número de diagonais de um polígono regular de [tex]17[/tex] lados pode ser utilizado para se obter o número de diagonais de um polígono regular com um número qualquer de lados.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Se for conveniente, você pode obter um arquivo desta página em PDF. Mas, para abrir esse arquivo, é necessário que você tenha o Adobe Acrobat Reader instalado no dispositivo que você está utilizando. Caso não tenha, é só clicar AQUI para fazer o download.
Se o seu dispositivo já tem o Adobe Acrobat Reader instalado, basta copiar o arquivo abaixo e abri-lo sempre que quiser!

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/problema-para-ajudar-na-escola-diagonais-de-um-icosagono/