.Problema para ajudar na escola: Determine os algarismos

Problema
(A partir do 7º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


(ONEM, 2004 – Adaptado) Considere os seguintes números naturais de quatro algarismos:

  • [tex]x=35mn[/tex],
  • [tex]y=n53p[/tex],
  • [tex]z=pq08[/tex].

Sabendo que [tex]z=x+y[/tex], determine os algarismos [tex]m[/tex], [tex]n[/tex], [tex]p[/tex] e [tex]q.[/tex]

(Observe que aqui as notações [tex]35mn[/tex], [tex]n53p[/tex] e [tex]pq08[/tex] não indicam produtos e sim representações de números com quatro algarismos no sistema decimal.)

Solução


Vamos indicar a soma [tex]z=x+y[/tex] utilizando o esqueminha vertical do algoritmo da adição:

[tex]\begin{array}{c c c c }
3 & 5 & m & n \\
n & 5 & 3 & p \\
\hline
p & q & 0 & 8
\end{array}\, +[/tex]

  • Observe a primeira coluna da esquerda e perceba que, como [tex]p[/tex] é um algarismo, então [tex]n \leqslant 6[/tex].
    Com efeito, [tex]\boxed{\textcolor{red}{7}+3=10}\, , \, \boxed{\textcolor{red}{8}+3=11}\, , \, \boxed{\textcolor{red}{9}+3=12}\, [/tex] e [tex]\, 10,11\,[/tex] e [tex]\,12[/tex] têm dois algarismos.
  • Observando a última coluna, vemos que [tex]n+p=8[/tex] ou [tex]n+p=18[/tex]. Mas, como já sabemos que [tex]n \leqslant 6[/tex], a soma [tex]n+p[/tex] é no máximo [tex]6+9=15[/tex]. Dessa forma, [tex]n+p=8[/tex] e, portanto, não será “levada” uma unidade de dezena para a soma da terceira coluna.
    Com isso [tex]m+3=10[/tex], donde [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$m=7$}\,[/tex] e levamos uma unidade de centena para a soma da segunda coluna.

Vamos registrar essas informações no nosso esqueminha:

[tex]\begin{array}{c c c c }
3 & ^1 5 & 7 & n \\
n & 5 & 3 & p \\
\hline
p & q & 0 & 8
\end{array}\, +[/tex]

  • Na segunda coluna faremos a soma [tex](5+5)+1[/tex], que é [tex]11[/tex]. Assim, [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$q=1$}\,[/tex] e levamos uma unidade de milhar para a soma primeira coluna.

[tex]\begin{array}{c c c c }
^1 3 & ^1 5 & 7 & n \\
n & 5 & 3 & p \\
\hline
p & 1 & 0 & 8
\end{array}\, +[/tex]

  • Da primeira coluna obtemos a igualdade soma [tex](3+n)+1=p[/tex] e da quarta temos que [tex]n+p=8[/tex]. Substituindo nessa última igualdade o valor de [tex]p[/tex] dado pela primeira, segue que:
    [tex]\qquad n+p=8[/tex]
    [tex]\qquad n+\left((3+n)+1\right)=8[/tex]
    [tex]\qquad 2n+4=8[/tex]
    [tex]\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=2$}[/tex].
  • Consequentemente, [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$p=6$}[/tex] .

Conferindo:

[tex]\begin{array}{c c c c }
3 & 5 & 7 & 2 \\
2 & 5 & 3 & 6 \\
\hline
6 & 1 & 0 & 8
\end{array}\, +[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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