.Problema para ajudar na escola: Coração tem perímetro? E área?

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


O coração mostrado nas figuras foi desenhado em uma malha quadriculada, utilizando-se quatro arcos de circunferências: [tex]\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{AB}}[/tex] , [tex]\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{BC}}[/tex] , [tex]\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{CD}}[/tex] , [tex]\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{DA}}[/tex], cujos centros estão indicados por pontos azuis na forma de cruz.

Sabendo-se que os lados dos quadradinhos da malha medem [tex]1 \, \text{cm}[/tex], determine:

(a) O perímetro do coração.

(b) A área do coração.

Solução


(a) Observe as circunferências de centros nos pontos [tex]C_1, \, C_2, \, C_3, \, C_4[/tex], a partir das quais foram traçados os arcos [tex]\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{AB}}[/tex] , [tex]\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{BC}}[/tex] , [tex]\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{CD}}[/tex] , [tex]\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{DA}}[/tex] que definem o coração.

Note que cada uma dessas circunferências tem raio [tex]r=2 \, \text{cm}[/tex]; logo, cada uma tem perímetro [tex]\boxed{p=2\pi \, r=4\pi \, \text{cm}} \, .[/tex]
Se denotarmos o perímetro do coração por [tex]\textcolor{red}{p_{cor}}[/tex], segue que:
[tex]\qquad \textcolor{red}{p_{cor}}=\dfrac{3}{4}p+\dfrac{1}{4}p+\dfrac{1}{4}p+\dfrac{3}{4}p[/tex]

[tex]\qquad \textcolor{red}{p_{cor}}=\dfrac{8}{4}p[/tex]
[tex]\qquad \textcolor{red}{p_{cor}}=2p[/tex]
[tex]\qquad \textcolor{red}{p_{cor}}=2\times(4\pi)[/tex]
[tex]\qquad \textcolor{red}{p_{cor}}=8\pi.[/tex]
Assim, o perímetro do coração é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$8\pi \, \text{cm}$} \, .[/tex] Se utilizarmos [tex]3,14[/tex] como aproximação para [tex]\pi[/tex], o perímetro do coração será aproximadamente [tex]25,12 \, \text{cm}.[/tex]

(b) A área do coração corresponde à soma das áreas [tex]A_1, \, A_2, \, A_3[/tex] indicadas na figura abaixo: [tex]\boxed{\textcolor{red}{A_{cor}}=A_1+A_2+A_3}.[/tex]

Observe que:

  • Cada uma das áreas [tex]A_1[/tex] e [tex]A_2[/tex] corresponde à área de [tex]\frac{3}{4}[/tex] de um círculo de raio [tex]r=2 \, \text{cm}[/tex]. Assim:
  • [tex]\qquad A_1=A_2=\dfrac{3}{4}\pi \, r^2[/tex]

    [tex]\qquad A_1=A_2=\dfrac{3}{4}\pi \, 2^2[/tex]

    [tex]\qquad A_1=A_2=\dfrac{3}{\cancel{4}}\pi \, \cancel{4}[/tex]

    [tex]\qquad \boxed{A_1=A_2=3\pi \, \text{cm}^2}.[/tex]

  • A área [tex]A_3[/tex] corresponde à diferença entre a área de um quadrado de lado [tex]l=4 \, \text{cm}[/tex] e duas áreas de [tex]\frac{1}{4}[/tex] de um círculo de raio [tex]r=2 \, \text{cm}[/tex]. Logo:
  • [tex]\qquad A_3=l^2-2\times \dfrac{1}{4}\pi \, r^2[/tex]

    [tex]\qquad A_3=4^2-2\times \dfrac{1}{4}\pi \, 2^2[/tex]

    [tex]\qquad A_3=16-2\times \dfrac{1}{\cancel{4}}\pi \, \cancel{4}[/tex]

    [tex]\qquad \boxed{A_3=(16-2\pi )\, \, \text{cm}^2}.[/tex]

Dessa forma,
[tex]\qquad \textcolor{red}{A_{cor}}=A_1+A_2+A_3[/tex]
[tex]\qquad \textcolor{red}{A_{cor}}=3\pi+3\pi+16-2\pi[/tex]
[tex]\qquad \textcolor{red}{A_{cor}}=4\pi+16 \, .[/tex]
Portanto, a área do coração é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(4\pi+16) \, \text{cm}^2$} \, [/tex]. Se utilizarmos [tex]3,14[/tex] como aproximação para [tex]\pi[/tex], a área do coração é aproximadamente[tex]28,56 \, \text{cm}^2.[/tex]


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