.Problema para ajudar na escola: Completando a tabelinha…

Problema
(A partir do 7º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


(ONEM – 2007) A tabelinha abaixo deve ser preenchida com números naturais, de modo que, se em duas casas consecutivas estão escritos dois números [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex]; então, na casa abaixo dessas duas, deve ser escrito o número [tex]a+b[/tex]. Veja:

Que número ocupará a casinha assinalada com a letra [tex]\textcolor{red}{x}[/tex] ?

Solução


  • Os números que na tabela ocupam as posições mais próximas são o [tex]4[/tex] e o [tex]6[/tex]; assim, chamemos de [tex]\textcolor{#00b0f0}{a}[/tex] o número que ocupará a posição entre eles. Dessa forma, as duas primeiras casas da segunda linha serão ocupadas por [tex]\textcolor{#00b0f0}{4+a}[/tex] e [tex]\textcolor{#00b0f0}{6+a}[/tex], nessa ordem, e consequentemente [tex]\boxed{26=\textcolor{#00b0f0}{(4+a)+(6+a)}} \, [/tex].
    Assim, segue que:
    [tex]\qquad 26=4+a+6+a[/tex]
    [tex]\qquad 26=10+2a[/tex]
    [tex]\qquad 2a=26-10[/tex]
    [tex]\qquad 2a=16[/tex]
    [tex]\qquad\textcolor{#00b0f0}{ a=8} \, .[/tex]
    Podemos preencher três casas da tabela, mas isso não é suficiente para determinarmos [tex]\textcolor{red}{x}.[/tex]
  • Seguindo o mesmo raciocínio, chamemos de [tex]\textcolor{#00CD00}{b}[/tex] o número que ocupará a terceira casa da segunda linha. Com isso, a segunda e a terceira casas da terceira linha serão ocupadas por [tex]\textcolor{#00CD00}{14+b}[/tex] e [tex]\textcolor{#00CD00}{8+b}[/tex], respectivamente; e, as duas casas da quarta linha, por [tex]\textcolor{#00CD00}{40+b}[/tex] e [tex]\textcolor{#00CD00}{22+2b}.[/tex]
    Consequentemente [tex]\boxed{95=\textcolor{#00CD00}{(40+b)+(22+2b)}} \, [/tex] e, assim:
    [tex]\qquad 95=40+b+22+2b[/tex]
    [tex]\qquad 95=62+3b[/tex]
    [tex]\qquad 3b=95-62[/tex]
    [tex]\qquad 3b=33[/tex]
    [tex]\qquad\textcolor{#00CD00}{b=11} \, .[/tex]
    Com isso, preenchemos mais cinco casas da tabela e quase já temos condições de determinarmos [tex]\textcolor{red}{x}.[/tex]
  • Observe que à direita de [tex]6[/tex], lá na primeira linha, devemos colocar um número que somado com [tex]6[/tex] resulte [tex]11[/tex]; portanto devemos escrever [tex]\textcolor{red}{5}[/tex] nessa posição.

Finalmente, como [tex]\textcolor{red}{5+x=8} \, [/tex], segue que [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=3$} \, [/tex] e completamos a tabelinha!


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Gincana de 2017 – Clubes de Matemática da OBMEP
Nível A – Questão Média

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