.Problema para ajudar na escola: Uma igualdade com cinco letras

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)


As letras [tex]A[/tex] , [tex]B[/tex] , [tex]C[/tex] , [tex]D[/tex] , [tex]E[/tex] correspondem a algarismos distintos e definem os números [tex]\textcolor{red}{ABB} \, [/tex] e [tex] \, \textcolor{blue}{CBDEA} \, [/tex] que satisfazem a seguinte igualdade:

[tex]\qquad \qquad \textcolor{red}{ABB}^2=\textcolor{blue}{CBDEA}.[/tex]

Qual o valor de cada uma dessas cinco letras?
(Aqui, as notações [tex]ABB[/tex] e [tex]CBDEA[/tex] não indicam produtos e sim representações de números no sistema decimal.)

Solução


Como [tex] \textcolor{red}{ABB}^2=\textcolor{blue}{CBDEA}[/tex], observamos que a letra [tex]A[/tex] corresponde ao algarismo das unidades do quadrado do número [tex]ABB[/tex], que é o algarismo das unidades do quadrado do número [tex]B.[/tex]
Assim, temos as possibilidades mostradas na tabela a seguir.

[tex]\qquad \qquad \begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
B&B^2&A& \\
\hline
0&0&0&ABB=000\\
\hline
1&1&1&ABB=111 \\
\hline
2&4&4&ABB=422 \\
\hline
3&9&9&ABB=933 \\
\hline
4&16&6&ABB=644 \\
\hline
5&25&5&ABB=555 \\
\hline
6&36&6&ABB=666\\
\hline
7&49&9&ABB=977 \\
\hline
8&64&4&ABB=488 \\
\hline
9&81&1&ABB=199 \\
\hline
\end{array}[/tex]

Como letras distintas correspondem a algarismos distintos, descartamos as possibilidades [tex]B=0 \, [/tex] ; [tex] \, B=1 \, [/tex] ; [tex] \, B=5 \, [/tex] e [tex] \, B=6.[/tex]
Para os casos que restaram, calculemos [tex]{ABB}^2.[/tex]

[tex]\qquad \qquad \begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
B&B^2&A&ABB& \\
\hline
2&4&4&422&{ABB}^2=178084 \\
\hline
3&9&9&933&{ABB}^2=870489 \\
\hline
4&16&6&644&{ABB}^2=414736 \\
\hline
7&49&9&977&{ABB}^2=954529 \\
\hline
8&64&4&488&{ABB}^2=238144 \\
\hline
9&81&1&199&{ABB}^2=39601 \\
\hline
\end{array}[/tex]

Como [tex]{ABB}^2=CBDEA[/tex], então [tex]{ABB}^2[/tex] deve ter exatamente cinco algarismos.
Portanto, [tex]{ABB}^2=39601[/tex], donde [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$C=3$} \, [/tex], [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$B=9$} \, [/tex], [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$D=6$} \, [/tex], [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$E=0$} \, [/tex] e [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$A=1$} \, .[/tex]

Observe que nem precisaríamos ter calculado [tex]{ABB}^2[/tex] nos seis casos da segunda tabela para finalizarmos o problema. Bastaria observarmos que [tex] \, 400^2=160000 \, [/tex] é um número de seis dígitos, logo, para [tex]{ABB}\gt 400[/tex], teríamos [tex]{ABB}^2=CBDEA[/tex] com mais de cinco dígitos e, então, restaria apenas a possibilidade [tex]\boxed{ABB=199} \, .[/tex]


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