.Problema para ajudar na escola: Aumentando os acertos…

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


(OPM 2003 – adaptado) Em uma gincana, a equipe “Os Feras” acertou [tex]80\%[/tex] das [tex]45[/tex] perguntas iniciais da competição.
Se a partir de agora a equipe acertasse todas as respostas, quantas perguntas seriam necessárias para que “Os Feras” atingisse a porcentagem de [tex]90\%[/tex] de perguntas corretamente respondidas na competição?
Nesse caso, qual seria o total de perguntas formuladas na gincana?
E quantas perguntas a equipe “Os Feras” acertaria na gincana?

Solução


Seja [tex]x[/tex] o número de perguntas que deverão ser corretamente respondidas pela equipe, para que esta atinja um percentual de acerto de [tex]90\%[/tex] na gincana.
Assim, devemos ter
[tex]\qquad \dfrac{80}{100}\times 45+x=\dfrac{90}{100}\left(45+x\right)[/tex],
e consequentemente [tex]\boxed{x = 45}[/tex] .

  • Observe que a percentagem de acerto da equipe “Os Feras” aumentaria para [tex]90\%[/tex] ao fim de mais [tex] \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$45$} [/tex] perguntas corretamente respondidas. Para que isso fosse possível, o número total de perguntas formuladas na gincana deveria ser [tex] 45+45=\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$90$} [/tex] perguntas.
    Nesse caso a equipe “Os Feras” acertaria

      • [tex]80\%[/tex] das [tex]45[/tex] perguntas iniciais: [tex]\dfrac{80}{100}\times 45=36[/tex] perguntas
      • [tex]100\%[/tex] das [tex]45[/tex] perguntas finais: [tex]45[/tex] perguntas

    ou seja, seriam [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$81$} [/tex] perguntas corretamente respondidas.

  • Observe que [tex]\dfrac{90}{100}\times 90=81[/tex], o que mostra que, com [tex]81[/tex] respostas corretas, a equipe atingiria de fato um índice de [tex]90\%[/tex] de acerto na gincana.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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