.Problema para ajudar na escola: As economias de duas irmãs

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio )


Faz algum tempo que as irmãs Rosa e Ester estão guardando suas respectivas mesadas para trocarem de celular. Hoje elas fizeram algumas simulações e perceberam que:

  • se Rosa emprestasse à Ester a terça parte do que tem guardado, Ester ficaria com [tex] R\$ \, 270,00[/tex] a mais do que restaria para Rosa;
  • mas, se Ester emprestasse à Rosa a terça parte do que tem guardado, Rosa ficaria com [tex]R\$ \, 150,00[/tex] a mais do que restaria para Ester.

Qual a quantidade de dinheiro que cada uma delas tem no momento?

Solução


Vamos supor que [tex]r[/tex] e [tex]e[/tex] sejam as quantias em reais que respectivamente Rosa e Ester têm no momento. Vamos escrever matematicamente as duas informações dadas no problema:

  • Se Rosa emprestasse à Ester a terça parte do que tem guardado, Ester ficaria com [tex] R\$ \, 270,00[/tex] a mais do que restaria para Rosa.
  • [tex] \boxed{e+\dfrac{r}{3}=270+\dfrac{2r}{3}}\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]

  • Se Ester emprestasse à Rosa a terça parte do que tem guardado, Rosa ficaria com [tex]R\$ \, 150,00[/tex] a mais do que restaria para Ester.
  • [tex]\boxed{r+\dfrac{e}{3}=150+\dfrac{2e}{3}}\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]

De [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], segue que
[tex] \qquad e+\dfrac{r}{3}=270+\dfrac{2r}{3}\\
\qquad e=270+\dfrac{2r}{3}-\dfrac{r}{3}\\
\qquad e=270+\dfrac{r}{3}.\qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
De [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], segue que
[tex] \qquad r+\dfrac{e}{3}=150+\dfrac{2e}{3}\\
\qquad r=150+\dfrac{2e}{3}-\dfrac{e}{3}\\
\qquad r=150+\dfrac{e}{3}\\
\qquad e=3r-450.\qquad \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex]
Agora, de [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] e de [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad 270+\dfrac{r}{3}=3r-450\\
\qquad 270+450=3r-\dfrac{r}{3}\\
\qquad 720=\dfrac{8r}{3}\\
\qquad 8r=2160\\
\qquad \boxed{r=270} \, .[/tex]
Finalmente, por [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex], temos que:
[tex]\qquad e=3r-450\\
\qquad e=3 \times 270-450\\
\qquad \boxed{e=360} \, .[/tex]
Assim, no momento que Ester e Rosa fizeram as simulações, Ester tinha [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$R\$ \, 360,00$} \, [/tex] e Rosa [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$R\$ \, 270,00$} \, .[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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