.Problema para ajudar na escola: As caixas coloridas de Júlia

Problema
(A partir do 7º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Fácil)


Júlia coleciona pequenas caixas coloridas.
Certo dia, ela pegou todas as suas caixas azuis e todas as vermelhas para brincar, fazendo com elas um grande círculo.
Depois de feito o círculo, em um dado momento, Júlia observou que doze caixas vermelhas tinham uma caixa azul do seu lado direito e sete caixas vermelhas tinham uma caixa vermelha do seu lado direito.
Sabendo que três quartos das caixas azuis tinham uma caixa vermelha do seu lado direito, qual o total de caixas que Júlia utilizou para fazer o círculo?

Solução


Feito o círculo, para cada caixa vermelha existem apenas duas possibilidades de posicionamento:

  • à sua direita existe caixa azul;
  • à sua direita existe caixa vermelha.

Assim, como em um dado momento, Júlia observou que doze caixas vermelhas tinham uma caixa azul do seu lado direito e sete caixas vermelhas tinham uma caixa vermelha do seu lado direito, então ela utilizou [tex]12+7=19[/tex] caixas vermelhas, ao todo.
Particularmente, o que acontece quando duas caixas vermelhas estão lado a lado?

Isso mesmo, sempre que duas caixas vermelhas estão lado a lado, uma delas tem uma caixa vermelha do seu lado direito e a outra tem uma caixa vermelha do seu lado esquerdo. Dessa forma, também existem sete caixas vermelhas que têm uma caixa vermelha do seu lado esquerdo e doze caixas vermelhas com uma caixa azul do seu lado esquerdo.
Perceba agora que o número de caixas azuis que têm uma caixa vermelha do seu lado direito é o número de caixas vermelhas que têm uma caixa azul do seu lado esquerdo: doze.
Por hipótese do problema, três quartos das caixas azuis têm uma caixa vermelha do seu lado direito; assim, se [tex]A[/tex] é o total de caixas azuis, então [tex]\dfrac{3}{4}A=12 [/tex] e, portanto, [tex]A=16.[/tex]
Finalizando, Júlia utilizou [tex]\fcolorbox{black}{#ff8989}{19}[/tex] caixas vermelhas e [tex]\fcolorbox{black}{#ADD8E6}{16}[/tex] caixas azuis; logo, um total de [tex]\boxed{19+16=35}[/tex] caixas.


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