.Problema para ajudar na escola: Área de um quadrilátero com pontas

Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)


(ONEM, 2004 – Adaptado) Na figura, vemos uma circunferência de centro em [tex]O[/tex] que tangencia os lados [tex]\overline{AD}[/tex] e [tex]\overline{BC}[/tex] do retângulo [tex]ABCD[/tex] nos pontos [tex]E[/tex] e [tex]F[/tex], respectivamente.

Se o retângulo [tex]ABCD[/tex] tem uma área de [tex]40\, cm^2[/tex], qual é a medida da área do quadrilátero colorido [tex]OCEB[/tex] ?

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Lembretes e notações

(1) Uma reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no seu ponto de tangência.
(2) Dado um ponto [tex]P[/tex] fora de uma dada reta [tex]r[/tex], existe uma única reta perpendicular a [tex]r[/tex] passando por [tex]P[/tex] .
(3) Para facilitar a notação, denotaremos o comprimento em centímetros do raio da circunferência da figura por [tex]r[/tex] e os comprimentos em centímetros dos lados [tex]\overline{AE}[/tex] e [tex]\overline{ED}[/tex] por [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] respectivamente.

Solução 1


Observe, inicialmente, que os segmentos [tex]\overline{AD}[/tex] e [tex]\overline{BC}[/tex] são paralelos, já que eles são lados opostos de um retângulo. Dessa forma, utilizando os Lembretes (1) e (2), podemos concluir que:

  • os pontos [tex]O[/tex], [tex]E[/tex] e [tex]F[/tex] são colineares;
  • a reta determinada por [tex]O[/tex], [tex]E[/tex] e [tex]F[/tex] é perpendicular a [tex]\overline{AD}[/tex] e a [tex]\overline{BC}[/tex];
  • os segmentos [tex]\overline{AB}[/tex] e [tex]\overline{DC}[/tex] têm comprimento [tex]2r[/tex].

Por outro lado, observe que a área do retângulo [tex]ABCD[/tex] pode ser decomposta como a soma das áreas dos triângulos [tex]ABE[/tex], [tex]BCO[/tex] e [tex]CDE[/tex] e do quadrilátero [tex]OCEB[/tex]. Portanto, calcularemos as medidas [tex]A_1[/tex], [tex]A_2[/tex] e [tex]A_3[/tex] das respectivas áreas desses três triângulos para obtermos a área [tex]\textcolor{#FF3366}{A}[/tex] solicitada no problema.

Vamos aos cálculos!

  • Triângulo [tex]ABE[/tex]:
  • [tex]\;A_1=\dfrac{a \cdot 2r}{2}=a \cdot r[/tex].

  • Triângulo [tex]BCO[/tex]:
  • [tex]\;A_2=\dfrac{(a+b) \cdot r}{2}[/tex].

  • Triângulo [tex]CDE[/tex]:
  • [tex]\;A_3=\dfrac{b \cdot 2r}{2}=b \cdot r[/tex].

Como [tex]\boxed{A_1+A_2+A_3+\textcolor{#FF3366}{A}=(a+b) \cdot 2r}[/tex], segue que:
[tex]\qquad a \cdot r+\dfrac{(a+b) \cdot r}{2}+b \cdot r+\textcolor{#FF3366}{A}=(a+b) \cdot 2r[/tex]
[tex]\qquad (a+b) \cdot r+\dfrac{(a+b) \cdot r}{2}+\textcolor{#FF3366}{A}=(a+b) \cdot 2r[/tex]
[tex]\qquad 2 \cdot (a+b) \cdot r+(a+b) \cdot r+2 \cdot \textcolor{#FF3366}{A}=4 \cdot (a+b) \cdot r[/tex]
[tex]\qquad 3 \cdot (a+b) \cdot r+2 \cdot \textcolor{#FF3366}{A}=4 \cdot (a+b) \cdot r[/tex]
[tex]\qquad 2 \cdot \textcolor{#FF3366}{A}=4 \cdot (a+b) \cdot r-3 \cdot (a+b) \cdot r[/tex]
[tex]\qquad 2 \cdot \textcolor{#FF3366}{A}= (a+b) \cdot r[/tex]
[tex]\qquad \textcolor{#FF3366}{A}= \dfrac{(a+b) \cdot r}{2}. \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Mas sabemos que o retângulo [tex]ABCD[/tex] tem uma área de [tex]40\, cm^2[/tex]; assim:
[tex]\qquad 40=(a+b)\cdot 2r[/tex]
[tex]\qquad (a+b)\cdot r=20. \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Substituindo [tex] \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] em [tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex], obtemos:
[tex]\qquad \textcolor{#FF3366}{A}= \dfrac{20}{2}=10[/tex].
Logo, a medida da área do quadrilátero colorido [tex]\textcolor{#FF3366}{OCEB}[/tex] é [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$10\, cm^2$}[/tex] .


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2


Observe, inicialmente, que os segmentos [tex]\overline{AD}[/tex] e [tex]\overline{BC}[/tex] são paralelos, já que eles são lados opostos de um retângulo. Dessa forma, utilizando os Lembretes (1) e (2), podemos concluir que:

  • os pontos [tex]O[/tex], [tex]E[/tex] e [tex]F[/tex] são colineares;
  • a reta determinada por [tex]O[/tex], [tex]E[/tex] e [tex]F[/tex] é perpendicular a [tex]\overline{AD}[/tex] e a [tex]\overline{BC}[/tex];
  • os segmentos [tex]\overline{AB}[/tex] e [tex]\overline{DC}[/tex] têm comprimento [tex]2r[/tex].

Para esta solução, observe que a área do quadrilátero [tex]OCEB[/tex] pode ser decomposta como a soma das áreas dos triângulos [tex]EBO[/tex] e [tex]EOC[/tex]. Portanto, calcularemos as medidas [tex]A_1[/tex] e [tex]A_2[/tex] das áreas desses dois triângulos para obtermos a área [tex]\textcolor{#FF3366}{A}[/tex] solicitada no problema.

Em ambos os casos, utilizaremos o segmento [tex]OE[/tex] como base.

  • Triângulo [tex]EBO[/tex]:
  • [tex]\quad A_1=\dfrac{a \cdot r}{2}[/tex].

  • Triângulo [tex]EOC[/tex]:
  • [tex]\quad A_2=\dfrac{b \cdot r}{2}[/tex].

Como [tex]\boxed{\textcolor{#FF3366}{A}=A_1+A_2}[/tex], segue que:
[tex]\qquad\textcolor{#FF3366}{A}=\dfrac{a \cdot r}{2}+\dfrac{b \cdot r}{2}\\
\qquad \textcolor{#FF3366}{A}= \dfrac{(a+b) \cdot r}{2}. \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
Mas sabemos que o retângulo [tex]ABCD[/tex] tem uma área de [tex]40\, cm^2[/tex]; assim:
[tex]\qquad 40=(a+b)\cdot 2r[/tex]
[tex]\qquad (a+b)\cdot r=20. \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex]
Substituindo [tex] \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex] em [tex] \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], obtemos:
[tex]\qquad \textcolor{#FF3366}{A}= \dfrac{20}{2}=10[/tex].
Logo, a medida da área do quadrilátero colorido [tex]\textcolor{#FF3366}{OCEB}[/tex] é [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$10\, cm^2$}[/tex] .


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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