.Problema para ajudar na escola: Área de um losango

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Problema
(A partir da 3ª série do E. M.- Nível de dificuldade: Médio)

Determinar a área do losango ABCD sabendo que as coordenadas dos vértices A, B e C em um mesmo plano cartesiano xOy são dadas por:

A=(10,3) ; B=(5,3) e C=(2,-1).

AJUDA

Para resolver este problema vamos utilizar noções básicas de plano cartesiano.
Talvez o vídeo abaixo possa ajudar!

Referencial Cartesiano (Abcissas e ordenadas)

Lembretes e notações

Em um plano cartesiano $xOy$ , considere os pontos $A=\left(x_A,y_A\right)\,$ e $\,B=\left(x_B,y_B\right)\,.$
A distância entre os pontos $A\,$ e $\,B$ , denotada por $d_{AB}$ , é definida por:
$\qquad d_{AB}=\sqrt{\left(x_A-x_B\right)^2+\left(y_A-y_B\right)^2\,}$ .
O ponto médio dos pontos $A\,$ e $\,B$ , denotado por $M_{AB}$ , é o ponto definido por:
$\qquad M_{AB}=\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,,\, \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$ .
(3) Um losango possui os quatro lados congruentes.
Em todo losango, as diagonais intersectam-se perpendicularmente nos respectivos pontos médios.
✐ Denotaremos o segmento de reta definido por dois pontos, digamos $X$ e $Y$ , por $\overline{XY}$ e seu respectivo comprimento por $XY$ .

Solução

A partir dos Lembretes (3) e (4), podemos decompor um losango em quatro triângulos retângulos congruentes ou em dois triângulos, não necessariamente retângulos, congruentes, conforme ilustram as duas imagens a seguir.

Dessa forma, sequer precisamos do quarto vértice do paralelogramo do problema para calcular a sua área. Assim, vamos inicialmente fixar um plano cartesiano $xOy$ e representar os pontos $A,B\,$ e $\, C\,$ para melhor visualizarmos a solução.

I – Vamos determinar o ponto médio comum das duas diagonais do losango utilizando os vértices $A\,$ e $\,C$ , para podermos calcular a altura do triângulo $ABC$ . A área do losango será, então, duas vezes a área desse triângulo.

Ponto médio da diagonal $\overline{AC}$ :

$\qquad M_{AC}=\left(\dfrac{x_A+x_C}{2}\,,\, \dfrac{y_A+y_C}{2}\right)\\ \qquad M_{AC}=\left(\dfrac{10+2}{2}\,,\, \dfrac{3-1}{2}\right)\\ \qquad M_{AC}=\left(6\,,\,1\right).$

Vamos agora determinar os comprimentos dos segmentos $\overline{AC}\,$ e $\,\overline{BM}$ , respectivamente, base e altura do triângulo $ABC\,.$

Comprimento do segmento $\overline{AC}\,$ :

$\qquad d_{AC}=\sqrt{\left(x_A-x_C\right)^2+\left(y_A-y_C\right)^2\,}\\ \qquad d_{AC}=\sqrt{\left(10-2\right)^2+\left(3-(-1)\right)^2\,}\\ \qquad d_{AC}=\sqrt{8^2+4^2\,}=\sqrt{64+16\,}\\ \qquad d_{AC}=\sqrt{80\,}.$

Comprimento do segmento $\overline{BM}\,$ :

$\qquad d_{BM}=\sqrt{\left(x_B-x_M\right)^2+\left(y_B-y_M\right)^2\,}\\ \qquad d_{BM}=\sqrt{\left(5-6\right)^2+\left(3-1\right)^2\,}\\ \qquad d_{BM}=\sqrt{(-1)^2+2^2\,}=\sqrt{1+4\,}\\ \qquad d_{BM}=\sqrt{5\,}.$

Área do triângulo $ABC$ :

$\qquad \textcolor{#0099CC}{S_{ABC}=\dfrac{base \times altura}{2}}\\ \qquad \textcolor{#0099CC}{S_{ABC}=\dfrac{\sqrt{80\,}\times \sqrt{5\,}}{2}}\\ \qquad \textcolor{#0099CC}{S_{ABC}=\dfrac{\sqrt{400\,}}{2}}\\ \qquad \textcolor{#0099CC}{S_{ABC}=10}.\\$

Portanto, a área do losango $ABCD$ é $\fcolorbox{black}{#d5e4ef}{$2 \times 10=20$}$ unidades de área.

II – Vamos utilizar o ponto médio comum das duas diagonais do losango já calculado, $M_{AC}=\left(6\,,\,1\right)$ , para calcularmos a medida do cateto $\overline{MA}\,$ do triângulo retângulo $BMA\, .$ A medida de $\, \overline{MB}$ já está calculada: $d_{BM}=\sqrt{5\,}\,.$ A área do losango será, dessa vez, quatro vezes a área desse triângulo.

Comprimento do segmento $\overline{MA}\,$ :

$\qquad d_{MA}=\sqrt{\left(x_M-x_A\right)^2+\left(y_M-y_A\right)^2\,}\\ \qquad d_{MA}=\sqrt{\left(6-10\right)^2+\left(1-3\right)^2\,}\\ \qquad d_{MA}=\sqrt{(-4)^2+(-2)^2\,}=\sqrt{16+4\,}\\ \qquad d_{MA}=\sqrt{20\,}.$

Área do triângulo $BMA$ :

$\qquad \textcolor{#009900}{S_{BMA}=\dfrac{base \times altura}{2}}\\ \qquad \textcolor{#009900}{S_{BMA}=\dfrac{\sqrt{20\,}\times \sqrt{5\,}}{2}}\\ \qquad \textcolor{#009900}{S_{BMA}=\dfrac{\sqrt{100\,}}{2}}\\ \qquad \textcolor{#009900}{S_{BMA}=5}.\\$

Portanto, a área do losango $ABCD$ é $\fcolorbox{black}{#bfb}{$4 \times 5=20$}$ unidades de área.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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