.Problema para ajudar na escola: Analfabetos no mundo…

Problema
(A partir do 9º ano do E. F.) (Nível: Médio)


(UERJ-2015) Suponha que existam exatamente [tex]700[/tex] milhões de analfabetos no mundo e que esse número seja reduzido, a uma taxa constante, em [tex]10\%[/tex] ao ano, totalizando [tex]n[/tex] milhões daqui a três anos.
Calcule o valor de [tex]n[/tex].

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Lembrete

Muitas situações que envolvem cálculos de porcentagem podem ser resolvidas utilizando-se apenas “regra de três simples”. Uma dessas situações é quando conhecemos o valor total [tex]v[/tex] de uma grandeza e queremos o valor [tex]x[/tex] correspondente a uma porcentagem [tex]p\%[/tex] desse total. Nesse caso [tex]v[/tex] corresponderá a [tex]100\% \, [/tex] e “armando” uma regra de três simples teremos:

[tex]v[/tex] ————————————– [tex]100\%[/tex]
[tex]x[/tex] ————————————– [tex]p\%[/tex]

Assim, resulta que [tex]\boxed{v\cdot p = x \cdot 100}[/tex], ou seja, [tex]\boxed{x= \dfrac{v\cdot p}{100}}[/tex]. Por exemplo,

    [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] Um acréscimo de [tex]p\%[/tex] a [tex]v[/tex] corresponderia a :
    [tex]\quad v+\dfrac{v\cdot p}{100}=\boxed{v \cdot\dfrac{100+ p}{100}}[/tex].
    [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] Um desconto de [tex]p\%[/tex] de [tex]v[/tex] corresponderia a :
    [tex]\quad v-\dfrac{v\cdot p}{100}=\boxed{v \cdot\dfrac{100- p}{100}}[/tex].

(Para aprender um pouco mais sobre porcentagem, clique AQUI)

Solução


Vamos calcular o número de analfabetos no mundo, decorridos três anos da formulação da questão; mas antes, observe que
[tex]\qquad 700[/tex] milhões [tex]=700.000.000=7\cdot 10^{8}[/tex].
Considerando uma taxa de redução constante de [tex]10\%[/tex] ao ano, calcularemos ano a ano o total de analfabetos no mundo.

  • Ao final do 1º ano houve uma redução de [tex]10\%[/tex] de um total de [tex]7\cdot 10^{8}[/tex]analfabetos. Assim, por [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], obtemos o primeiro total parcial:
    [tex]\quad T_1=7\cdot 10^{8} \cdot\dfrac{100- 10}{100}=7\cdot 10^{8} \cdot\dfrac{9}{10}[/tex].
    [tex] \boxed{T_1=63\cdot 10^{7}}[/tex].
  • Ao final do 2º ano houve uma redução de [tex]10\%[/tex] de um total de [tex]63\cdot 10^{7}[/tex]analfabetos. Assim, por [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], obtemos o segundo total parcial:
    [tex]\quad T_2=63\cdot 10^{7} \cdot\dfrac{100- 10}{100}=63\cdot 10^{7} \cdot\dfrac{9}{10}[/tex],
    [tex] \boxed{T_2=567\cdot 10^{6}}[/tex].
  • Ao final do 3º ano houve uma redução de [tex]10\%[/tex] de um total de [tex]567\cdot 10^{6}[/tex] analfabetos. Assim, por [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], obtemos o terceiro total parcial:
    [tex]\quad T_3=567\cdot 10^{6} \cdot\dfrac{100- 10}{100}=567\cdot 10^{6} \cdot\dfrac{9}{10}[/tex],
    [tex] \boxed{T_3=5103\cdot 10^{5}}[/tex].

Dessa forma, decorridos os três anos, haverá [tex] 510.300.000[/tex] analfabetos.
Observe, finalmente, que o problema solicita o valor de [tex]n[/tex] tal que [tex]n[/tex] milhões é o total de analfabetos no mundo ao final dos três anos.
Como
[tex] \qquad 510.300.000=510,3\cdot 10^6=510,3 \, [/tex] milhões,
então [tex] \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=510,3$}[/tex].


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