.Problema para ajudar na escola: A chegada dos alunos

Problema
(A partir do 9º ano do E. F.- Nível de dificuldade: Difícil)


Ontem, a professora Robemi observou a chegada de seus alunos para sua aula e notou que cada estudante apertou a mão de seis meninas e oito meninos. O número de apertos de mão entre “meninos e meninas” foi cinco a menos do que os outros tipos de aperto de mão.

Quantos estudantes foram observados pela professora Robemi?

Solução


Seja [tex]O[/tex] o número de meninos observados pela professora e [tex]A[/tex], o de meninas.

  • Como toda menina apertava a mão de [tex]8[/tex] meninos, o número de apertos de mão entre “meninos e meninas” foi [tex]\boxed{8A}\,.[/tex]
  • Mas, por outro lado, todo menino apertou a mão de [tex]6[/tex] meninas, então o número de apertos de mão entre “meninos e meninas” também pode ser escrito como [tex]\boxed{6O}\,.[/tex]

Já temos, então, uma primeira equação:
[tex]\qquad 8A=6O\,.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]

  • Agora, cada menino apertou a mão de outros oito meninos e há [tex]O[/tex] meninos. Com isso, a princípio, teriam acontecido [tex]8O[/tex] apertos de mão entre meninos, mas contamos cada aperto de mão desse tipo duas vezes (uma vez para cada participante). Logo, o número de apertos de mão entre meninos é [tex]\boxed{4O}[/tex].
  • De forma análoga, o número de apertos de mão entre as meninas é [tex]\boxed{3A}\,[/tex]; mas vamos repetir o raciocínio:
    – cada menina apertou a mão de outras seis meninas e há [tex]A[/tex] meninas. Logo, teriam acontecido [tex]6A[/tex] apertos de mão entre meninas; no entanto, contamos cada aperto de mão desse tipo duas vezes (uma vez para cada participante). Com isso foram, de fato, [tex]\boxed{3A}[/tex] apertos de mão entre meninas.

Como temos a informação de que o número de apertos de mão entre “meninos e meninas” foi cinco a menos do que os outros tipos de aperto de mão, obtemos mais uma equação:
[tex]\qquad 8A = (4O + 3A)-5.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Observe que de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] segue que [tex]O=\dfrac{4}{3}A[/tex]; assim, substituindo essa expressão em [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad 8A = 4O + 3A-5\\
\qquad 8A = 4\cdot \dfrac{4}{3}A + 3A-5\\
\qquad 24A=16A+9A-15\\
\qquad 16A+9A-24A=15\\
\qquad \boxed{A=15}\,.[/tex]
Substituindo o valor de [tex]A[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad 8A=6O\\
\qquad 8\cdot 15=6O\\
\qquad O=\dfrac{8\cdot 15}{6}\\
\qquad \boxed{O=20}\,.[/tex]
Portanto, naquele dia, foram observados pela professora Robemi [tex] \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$15+20=35$}[/tex] estudantes: [tex]15[/tex] meninas e [tex]20[/tex] meninos.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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