Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)
Em um rebanho há oito ovelhas.
A primeira ovelha devora um fardo de feno em um dia. A segunda ovelha demora dois dias para comer a mesma porção; a terceira ovelha necessita de três dias, a quarta de quatro dias, e assim sucessivamente.
Considerando duas quantidades idênticas de feno, quais ovelhas comerão seu feno mais rápido: as duas primeiras ou as seis restantes?
Solução
As ovelhas comem feno a uma taxa de [tex]1, \, \dfrac{1}{2}, \, \dfrac{1}{3}, \, …, \, \dfrac{1}{8}[/tex] de porção ao dia, respectivamente.
Assim, as duas primeiras comem
[tex] \qquad \qquad 1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2} \, [/tex] porções ao dia
e as outras seis ovelhas comem
[tex] \qquad \qquad \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8} \, [/tex] de porções ao dia.
Observe que
[tex] \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8} = \left( \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} \right) +\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8} \right)[/tex]
e também que
[tex] \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \dfrac{1}{5} \lt \dfrac{1}{4}[/tex]; [tex] \, \, \, \dfrac{1}{6}\lt \dfrac{1}{4}[/tex]; [tex] \, \, \, \dfrac{1}{7}\lt \dfrac{1}{4}[/tex]; [tex] \, \, \, \dfrac{1}{8}\lt \dfrac{1}{4}[/tex];
assim,
[tex] \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8} = \left( \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} \right) +\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8} \right)\lt\\
\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \lt \dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4} \right)=\dfrac{3}{2}, [/tex]
ou seja,
[tex] \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8} \lt \dfrac{3}{2} [/tex].
Portanto, as seis ovelhas comem feno a uma razão diária menor do que as duas primeiras.
Logo, as duas primeiras vão comer a porção de feno mais rápido do que as demais.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.