Problema
Quantos números naturais cujos algarismos são todos pares existem entre 2007 e 7002?
Solução 1
- Entre [tex]2007[/tex] e [tex]2009[/tex]: Apenas [tex]1[/tex], o [tex]2008[/tex].
- Entre [tex]2010[/tex] e [tex]2099[/tex]: Há [tex]4[/tex] possibilidades de algarismo par para as dezenas ([tex]2,\;4,\;6,\;8[/tex]) e [tex]5[/tex] para as unidades ([tex]0,\;2,\;4,\;6,\;8[/tex]). Logo, há um total de [tex]4\times5=20[/tex] números.
- Entre [tex]2100[/tex] e [tex]2999[/tex]: Há [tex]4[/tex] possibilidades de algarismo para as centenas ([tex]2,\;4,\;6,\;8[/tex]); [tex]5[/tex] para as dezenas ([tex]0,\;2,\;4,\;6,\;8[/tex]) e [tex]5[/tex] para as unidades ([tex]0,\;2,\;4,\;6,\;8[/tex]). Logo, há um total de [tex]4\times5\times5=100[/tex] números.
- Entre [tex]4000[/tex] (inclusive) e [tex]4009[/tex]: Há [tex]5[/tex] possibilidades para as unidades.
- Entre [tex]4010[/tex] e [tex]4099[/tex]: [tex]4\times5=20[/tex] números.
- Entre [tex]4100[/tex] e [tex]4999[/tex]: [tex]100[/tex] números.
- Algo análogo pode ser feito para os números começados pelo algarismo [tex]6[/tex].
O total de números é, portanto, [tex]1+5+5+3(20+100)=11+360=\fbox{371}[/tex].
Solução elaborada pela aluna do PIC-OBMEP Noemi Zeraick Monteiro.
Solução 2
Dos algarismos de [tex]0\, [/tex] a [tex]\, 9[/tex], temos que [tex]5[/tex] deles são pares: [tex]0,\;2,\;4,\;6,\;8[/tex].
Como o enunciado pede naturais entre [tex]2007\,[/tex] e [tex]\, 7002[/tex], temos apenas números de quatro algarismos, sendo eles: unidade de milhar, centena, dezena e unidade.
Vejamos cada caso:
[tex]\bullet[/tex] unidade de milhar: Temos que não pode ser nem [tex]0[/tex] e nem [tex]8[/tex], restando [tex]5-2=3[/tex] possibilidades.
[tex]\bullet[/tex] centena: Não havendo restrições para algarismos repetidos, logo, temos [tex]5[/tex] possibilidades.
[tex]\bullet[/tex] dezena e unidade: Analogamente, existem [tex]5[/tex] opções para as dezenas e [tex]5[/tex] opções para as unidades.
Assim, pelo princípio multiplicativo, estes números totalizam [tex]3\times 5\times 5\times 5=375[/tex]; todavia, ainda existem os números [tex]2000,2002,2004\,[/tex] e [tex]\, 2006[/tex] que estão inclusos neste total e precisam ser descontados:
[tex]\qquad 375-4=371[/tex].
Concluímos, então, que existem [tex]371[/tex] números que satisfazem o enunciado.
Solução elaborada pela aluna do PIC-OBMEP Nayara Mendes Lacerda.
Material de apoio
* Se você não se lembra do Princípio Multiplicativo, sugerimos que você assista a este vídeo, a este vídeo e a este .
Você pode também ler o texto “O princípio multiplicativo” na Sala de Pequenos Textos, na Nossa Biblioteca.
Bons estudos!