.Problema Olímpico – Nível B: Simplificando potências

Problema


Determinar o valor de
[tex]\qquad \qquad \quad \dfrac{2^n\times10^{n+2}}{5^{n+1}\times4^n}[/tex].

 

Solução


Temos que determinar o valor de [tex]\dfrac{2^n\times10^{n+2}}{5^{n+1}\times4^n}[/tex].
Das propriedades da potenciação tem-se que [tex]\fcolorbox{black}{yellow}{$ \, a^n\times a^m=a^{n+m} \, $}[/tex], então podemos escrever:
 
[tex]\qquad \qquad \dfrac{2^n\times10^{n+2}}{4^n\times5^{n+1}}=\dfrac{2^n\times10^n\times10^2}{4^n\times5^n\times5}=\dfrac{10^2}{5}\dfrac{2^n\times10^n}{4^n\times5^n}[/tex].
 
De outra propriedade da potenciação segue que [tex]\fcolorbox{black}{yellow}{$ \, a^n\times b^n=(a\times b)^n \, $}[/tex], assim podemos escrever:
 
[tex]\qquad \qquad \dfrac{10^2}{5}\dfrac{2^n\times10^n}{4^n\times5^n}=\dfrac{100}{5}\dfrac{(2\times10)^n}{(4\times5)^n}=20\dfrac{20^n}{20^n}=20[/tex].
 
Portanto,
[tex]\qquad \qquad \fbox{$ \, \dfrac{2^n\times10^{n+2}}{5^{n+1}\times4^n}=20 \, $}[/tex]
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Solução elaborada pelo aluno do PIC-OBMEP André Oliveira Mendes, com contribuições dos Moderadores do Blog .

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