Problema
Determinar o valor de
[tex]\qquad \qquad \quad \dfrac{2^n\times10^{n+2}}{5^{n+1}\times4^n}[/tex].
Solução
Temos que determinar o valor de [tex]\dfrac{2^n\times10^{n+2}}{5^{n+1}\times4^n}[/tex].
Das propriedades da potenciação, tem-se que [tex]\fcolorbox{black}{yellow}{$ \, a^n\times a^m=a^{n+m} \, $}\,[/tex]; então, podemos escrever:
[tex]\qquad \qquad \dfrac{2^n\times10^{n+2}}{4^n\times5^{n+1}}=\dfrac{2^n\times10^n\times10^2}{4^n\times5^n\times5}=\dfrac{10^2}{5}\,\dfrac{2^n\times10^n}{4^n\times5^n}[/tex].
De outra propriedade da potenciação, segue que [tex]\fcolorbox{black}{yellow}{$ \, a^n\times b^n=(a\times b)^n \, $}\,[/tex]; assim, podemos escrever:
[tex]\qquad \qquad \dfrac{10^2}{5}\dfrac{2^n\times10^n}{4^n\times5^n}=\dfrac{100}{5}\,\dfrac{(2\times10)^n}{(4\times5)^n}=20\dfrac{20^n}{20^n}=20[/tex].
Portanto,
[tex]\qquad \qquad \fbox{$ \, \dfrac{2^n\times10^{n+2}}{5^{n+1}\times4^n}=20 \, $}[/tex].
Solução elaborada pelo aluno do PIC-OBMEP André Oliveira Mendes, com contribuições dos Moderadores do Blog.