Problema
Determine o valor de [tex]x[/tex], sabendo que [tex]x=\sqrt{7+\sqrt{24}}-\sqrt{7-\sqrt{24}}[/tex].
Solução 1
Temos que [tex]x=\sqrt{7+\sqrt{24}}-\sqrt{7-\sqrt{24}}[/tex]; mas observamos que
[tex]\qquad \quad \sqrt{24}=\sqrt{4\cdot6}=2\sqrt{6}[/tex]
e, portanto,
[tex]\qquad x=\sqrt{7+\sqrt{24}}-\sqrt{7-\sqrt{24}}=\sqrt{7+2\sqrt{6}}-\sqrt{7-2\sqrt{6}}[/tex].
Lembrando que
[tex]\qquad (a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2[/tex],
podemos observar que:
[tex]\qquad 7+2\sqrt{6}=6+2\sqrt{6}+1=(\sqrt{6})^2+2\sqrt{6}+1=(\sqrt{6}+1)^2[/tex]
[tex]\qquad 7-2\sqrt{6}=6-2\sqrt{6}+1=(\sqrt{6})^2-2\sqrt{6}+1=(\sqrt{6}-1)^2[/tex].
Temos também que
[tex]\qquad x\in\mathbb{R}\Rightarrow\sqrt{x^2}=|x|[/tex],
sendo [tex]|x|[/tex] o valor absoluto de [tex]x[/tex] (o valor de [tex]x[/tex] sem sinal),
então podemos escrever
[tex]\qquad \begin{align*} x&=\sqrt{7+2\sqrt{6}}-\sqrt{7-2\sqrt{6}}\\
&=\sqrt{(\sqrt{6}+1)^2}-\sqrt{(\sqrt{6}-1)^2}\\
&=|\sqrt{6}+1|-|\sqrt{6}-1|.\end{align*}[/tex]
Como [tex]\sqrt{6}>1[/tex], então [tex]\sqrt{6}-1>0[/tex] e com isso [tex]|\sqrt{6}-1|=\sqrt{6}-1[/tex].
Portanto,
[tex]\qquad \begin{align*}x&=|\sqrt{6}+1|-|\sqrt{6}-1|\\
&=\sqrt{6}+1-(\sqrt{6}-1)\\
&=\cancel{\sqrt{6}}+1-\cancel{\sqrt{6}}+1=2 .\end{align*}[/tex]
Assim,
[tex]\qquad \fbox{x=2} \, [/tex].
Solução elaborada pelo aluno do PIC-OBMEP André Oliveira Mendes, com contribuições dos Moderadores do Blog.
Solução 2
Sejam [tex]a=7+\sqrt{24} \, \, [/tex] e [tex] \, \, b= 7-\sqrt{24} \, \, [/tex] e note que [tex]a>b>0[/tex].
Como [tex]x=\sqrt{7+\sqrt{24}}-\sqrt{7-\sqrt{24}}[/tex], então [tex]x=\sqrt{a}-\sqrt{b}>0[/tex].
Observe que
[tex]\qquad \left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2=\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}+\left(\sqrt{b}\right)^2=a-2\sqrt{a}\sqrt{b}+b\;;[/tex]
assim,
[tex]\qquad x=\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-2\sqrt{ab}+b}[/tex].
Vamos calcular
[tex]\qquad ab=\left(7+\sqrt{24}\right)\cdot \left(7-\sqrt{24}\right)[/tex]
e, para tanto, observe que
[tex]\qquad (m+n) \, (m-n)=m^2-n^2[/tex].
Assim
[tex]\qquad ab=\left(7+\sqrt{24}\right)\cdot \left(7-\sqrt{24}\right)=7^2-\left(\sqrt{24}\right)^2=49-24=25[/tex]
e, então,
[tex]\qquad x=\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-2\sqrt{ab}+b}\\
\qquad x=\sqrt{7+\sqrt{24}-2\cdot \sqrt{25}+7-\sqrt{24}}\\
\qquad x=\sqrt{7+\sqrt{24}-2\cdot 5+7-\sqrt{24}},[/tex]
donde
[tex]\qquad x=\sqrt{7+\cancel{\sqrt{24}}-10+7-\cancel{\sqrt{24}}}\\
\qquad x=\sqrt{7-10+7}=\sqrt{14-10}=\sqrt{4}.[/tex]
Assim,
[tex]\qquad \fcolorbox{red}{yellow}{x=2}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.