Problema
Seja [tex]n[/tex] o menor número de três dígitos que não é múltiplo de [tex]3[/tex] e cujo quadrado do algarismo da centena seja o produto dos algarismos da dezena e da unidade.
Determinar a soma dos três algarismos de [tex]n[/tex].
Solução 1
Seja [tex]abc[/tex] o número procurado. (Aqui, a notação [tex]abc[/tex] não indica um produto e sim a representação de um número de três algarismos no sistema decimal.)
Assim, de acordo com o enunciado, temos que [tex]~a+b+c~[/tex] não é múltiplo de [tex] \, 3 \; [/tex]e [tex]\,a^2=b\cdot c[/tex].
Observe inicialmente que, se [tex]b=c[/tex], teríamos [tex]a^2=b^2[/tex], ou seja, [tex]a=b=c[/tex]. Assim, o número seria divisível por [tex]3[/tex].
Desta forma, temos que, [tex]a\ne b\ne c[/tex], [tex]a\ne c\,[/tex] e [tex]\,a^2=b\cdot c[/tex].
- Como estamos procurando apenas números de [tex]1[/tex] a [tex]9[/tex], vamos testar alguns valores para [tex]a[/tex]:
[tex]\bullet[/tex] Se [tex]a=1[/tex], teríamos [tex]b\cdot c=1[/tex]. Mas isso implicaria que [tex]b=c=1[/tex], o que contraria exigência de [tex]b\ne c[/tex].
[tex]\bullet[/tex] Se [tex]a=2[/tex], teríamos [tex]b\cdot c=4[/tex]. Temos apenas duas soluções [tex](b, c)=(4, 1)[/tex] e [tex](1, 4)[/tex]; já que na solução [tex](b, c)=(2, 2)[/tex] temos [tex]b = c[/tex], e isso não nos interessa.
Porém, como queremos o menor número [tex]n=abc[/tex], temos que [tex]b=1[/tex] e [tex]c=4[/tex].
Logo, [tex]n=214[/tex] e a soma dos algarismos de [tex]n[/tex] é [tex]2+1+4=7[/tex].
Solução elaborada pelo aluno do PIC-OBMEP Paulo Ricardo Souza Rodrigues, com contribuições dos Moderadores do Blog.
Solução 2
Seja [tex]n=abc[/tex] o número em questão. (Aqui, a notação [tex]abc[/tex] não indica produto e sim a justaposição de três algarismos.)
- Como estamos procurando o menor número que satisfaz as condições exigidas, investiguemos os números com [tex]a=1[/tex].
Neste caso, como [tex]a^2=b\cdot c[/tex], teríamos necessariamente [tex]1=b\cdot c[/tex], o que implicaria em [tex]b=c=1[/tex], pois, sendo algarismos, [tex]b, \,c \in \left \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 9 \right\}[/tex]. Mas com isso teríamos [tex]n=111[/tex], o que contraria a exigência de que [tex]n[/tex] não é múltiplo de [tex]3[/tex].
Assim descartamos os números da forma [tex]1bc[/tex]. - Investiguemos, então, os números da forma [tex]2bc[/tex], já que queremos os menores.
Neste caso, de [tex] \, a^2=b\cdot c \, [/tex], segue que [tex]4=b\cdot c[/tex], donde, teríamos dois pares de candidatos: “[tex]b=1[/tex] e [tex]c=4[/tex]” ou “[tex]b=4[/tex] e [tex]c=1[/tex]”; uma vez que se [tex]b=c=2[/tex], então [tex]n=222[/tex] que claramente é um múltiplo de [tex]3[/tex].
Como queremos o menor número da forma [tex]n=2bc[/tex], façamos [tex]b=1[/tex] e [tex]c=4[/tex], ou seja, consideremos o número [tex]n=214[/tex].
Como [tex]2+1+4=7[/tex] e [tex]7[/tex] não é múltiplo de [tex]3[/tex], [tex]n=214[/tex] é o número em questão.
Finalizamos utilizando a soma dos algarismos já efetuada para responder à pergunta do problema:
[tex]\quad\quad\quad a+b+c=2+1+4= \fcolorbox{black}{yellow}{7}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
