Problema
Seja [tex]n[/tex] um número de três algarismos.
O produto desses três algarismos é [tex]168[/tex] e a soma dos dois últimos algarismos de [tex]n[/tex] é [tex]13[/tex].
Qual é o algarismo da centena do número [tex]n[/tex] ?
Solução
Temos um número da forma [tex]abc = 100a + 10b + c[/tex], com:
[tex]\quad\begin{cases}a\cdot b\cdot c = 168\\ b + c = 13\end{cases}[/tex],
do qual queremos o algarismo da centena, ou seja, o algarismo [tex]a[/tex].*
(Aqui, a notação [tex]abc[/tex] não indica um produto e sim a representação de um número de três algarismos no sistema decimal.)
Como [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] são algarismos e [tex]b + c = 13[/tex], temos que os únicos pares possíveis para [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] são: “[tex]4[/tex] e [tex]9[/tex]”; “[tex]5[/tex] e [tex]8[/tex]”; ” [tex]6[/tex] e [tex]7[/tex]”, não necessariamente nessa ordem.
Como [tex]a\cdot b \cdot c = 168[/tex], então [tex] a = \dfrac{168}{b\cdot c}[/tex].
Assim [tex]b\cdot c[/tex] deve ser divisor de [tex]168[/tex], pois [tex]a[/tex] é um algarismo.
Como [tex]4\cdot9 = 36[/tex] e [tex]5\cdot8 = 40[/tex] não são divisores de [tex]168[/tex] e [tex]6\cdot7 = 42[/tex] é divisor de [tex]168[/tex], temos que [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] são [tex]6[/tex] e [tex]7[/tex], não necessariamente nessa ordem.
Finalmente, temos que [tex]42a = 168[/tex], logo [tex]a = \dfrac{168}{42}[/tex], ou seja, [tex]\fbox{$a = 4$}[/tex].
Solução elaborada pela aluna do PIC-OBMEP Andressa Wickert Kreutz.
Vídeo de apoio
* Se você não entendeu a representação [tex]abc = 100a + 10b + c[/tex], talvez você não se lembre das características do sistema decimal posicional.
Se for isso, assista a este vídeo e também a este .
Bons estudos!