Problema
Diremos que um número natural é crescente, se seus dígitos são ordenados de forma crescente, da esquerda para a direita.
Por exemplo:
- 1368; 2489; 4679 são números crescentes;
- 3629; 3779; 4560 não são números crescentes.
Quantos números crescentes existem entre 2300 e 2400?
Solução
Os números crescentes entre [tex]2300[/tex] e [tex]2400[/tex] podem ser representados por [tex]23AB[/tex], em que [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] representam algarismos tais que [tex]3\lt A\lt B[/tex]. (Observe que a notação [tex]23AB[/tex] indica a representação de um número de quatro algarismos no sistema decimal.)
Como [tex]3\lt A\lt B[/tex], dispomos de [tex]6[/tex] algarismos para definir o terceiro e o quarto algarismos dos números crescentes em questão: [tex]4[/tex], [tex]5[/tex], [tex]6[/tex], [tex]7[/tex], [tex]8[/tex], e [tex]9.[/tex]
Assim, a princípio, podemos escolher [tex]6[/tex] algarismos para [tex]A[/tex] e [tex]5[/tex] para [tex]B[/tex], já que [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] são distintos. Mas observe que, em metade dessas escolhas, [tex]A\gt B[/tex] e, na outra metade, [tex]B\gt A[/tex].
Logo, a quantidade de números crescentes entre [tex]2300[/tex] e [tex]2400[/tex] é [tex]~\dfrac{6\times 5}{2}=\dfrac{30}{2}=15[/tex].
Solução elaborada pela aluna do PIC-OBMEP Maria Laura da Silva e Silva, com contribuições dos Moderadores do Blog.