.Problemão: O troco do pipoqueiro

Problema
(Indicado a partir do 2ª série do E. M.)

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Um pipoqueiro cobra o valor de $R\$\;1,00$ por saco de pipoca. Ele começa seu trabalho sem qualquer dinheiro para troco. Existem oito pessoas na fila do pipoqueiro, das quais quatro têm uma moeda de $R\$\; 1,00$ e quatro uma nota de $R\$\;2,00$.
Supondo uma arrumação aleatória para a fila formada pelas oito pessoas e que cada uma comprará exatamente um saco de pipoca, calcule a probabilidade de que o pipoqueiro tenha troco para as quatro pessoas que pagarão com a nota de $R\$\;2,00$.

Extraído de IME.

Solução

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Vamos representar por $U$ as pessoas com moedas de $R\$\;1,00$ e por $D$ as pessoas com notas de $R\$\;2,00.$
O número de filas que essas oito pessoas podem organizar, levando em consideração apenas o tipo de pagamento, é dado pela permutação com repetição $P_{8}^{4,4}=\dfrac{8!}{4!\cdot4!}=70$. Esses são os casos possíveis.
Para que sempre haja troco, a cada momento a quantidade de pessoas que pagam $R\$\;2,00$ nunca pode ser maior que a quantidade de pessoas que pagaram $R\$\;1,00$, porque para cada pessoa que o pipoqueiro der um troco ele deverá ter recebido a moeda do troco de antemão. Por esse motivo, a primeira pessoa da fila deve estar com uma moeda de $R$\;1,00$ e a última com nota de $R$\;2,00$.

Assim, diminuímos nosso problema! Agora, basta contar quantas filas há com as seis pessoas restantes e tomar cuidado com a restrição inicial do problema.
Para isso, vamos analisar dois casos.

1º) Se a segunda pessoa estiver com uma nota de $R\$\;2,00$, obrigatoriamente a terceira deve ser uma pessoa com a moeda de $R\$\;1,00$.

Há portanto, $P_{4}^{2,2}=\dfrac{4!}{2!\cdot2!}=6$ modos de organizar as outras quatro pessoas na fila (duas com moedas e duas com notas).
De todas essas seis opções, apenas uma (a da próxima imagem) não satisfaz a restrição.

Logo, nesse 1º caso há $5$ casos possíveis.
Você pode visualizar as seis opções de organização das quatro pessoas no esqueminha apresentado a seguir.

[D U] U U D D $\rightarrow$ Serve
[D U] U D U D $\rightarrow$ Serve
[D U] U D D U $\rightarrow$ Serve
[D U] D U U D $\rightarrow$ Serve
[D U] D U D U $\rightarrow$ Serve
[D U] D D U U $\rightarrow$ Não serve

2º) Suponhamos que a segunda pessoa esteja com uma moeda de $R\$\;1,00$.

Então, há $P_{5}^{2,3}=\dfrac{5!}{2!\cdot3!}=10$ modos de organizar as outras cinco pessoas na fila (duas com moedas e três com notas).
De todas essas dez maneiras, apenas uma (a da próxima imagem) não satisfaz a restrição.

Assim, nesse 2º caso há $9$ casos possíveis.
Você também pode visualizar as dez opções de organização das cinco pessoas no esqueminha apresentado a seguir.

[U] U U D D D $\rightarrow$ Serve
[U] U D U D D $\rightarrow$ Serve
[U] U D D U D $\rightarrow$ Serve
[U] U D D D U $\rightarrow$ Serve
[U] D U U D D $\rightarrow$ Serve
[U] D U D U D $\rightarrow$ Serve
[U] D U D D U $\rightarrow$ Serve
[U] D D U U D $\rightarrow$ Serve
[U] D D U D U $\rightarrow$ Serve
[U] D D D U U $\rightarrow$ Não serve

A partir desses dois casos, mutuamente excludentes, o Princípio Aditivo garante que há $9+5=14$ casos favoráveis.
Portanto, a probabilidade desejada é:
$\qquad \qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$Probabilidade=\dfrac{14}{70}=\dfrac{1}{5}=20\%$}\,.$

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.