Problema
Um número é dito inteiro algébrico quando ele é raiz de alguma equação polinomial de coeficientes inteiros.
Por exemplo, o 2 é inteiro algébrico, pois é raiz da equação x – 2 = 0; do mesmo modo, \sqrt{2} também é inteiro algébrico, pois é raiz de x^2 – 2 = 0.
Prove que \sqrt{2 + \sqrt{3\textcolor{white}{(}}} é um inteiro algébrico.
Solução
Considere x =\sqrt{2 + \sqrt{3\textcolor{white}{(}}} e observe que:
- x^2 = 2 + \sqrt{3};
- x^2 – 2 = \sqrt{3};
- (x^2 – 2)^2 = (\sqrt{3})^2;
- x^4 – 4x^2 + 4 = 3;
- x^4 – 4x^2 + 1 = 0.
Portanto, \sqrt{2 + \sqrt{3\textcolor{white}{(}}} é um inteiro algébrico.
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