Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Prove que, para todo número natural [tex]n[/tex], o algarismo das unidades de [tex] 9^{2n}[/tex] é igual a [tex]1[/tex].
Extraído de: The USSR Olympiad Problem Book – D.O. Shklarsky; N.N. Chentzov; I.M. Yaglom.
Lembrete
[tex]\qquad \boxed{a^{n} -1=(a-1)(a^{n-1}+ a^{n-2} + \dots + a+1 )}[/tex]
(Para mais detalhes da identidade indicada, visite esta Sala de Estudo)
Solução
Inicialmente, observe que se [tex]n=1[/tex], então [tex] 9^{2n}=9^0=1[/tex] e a condição de que o algarismo das unidades de [tex] 9^{2n}[/tex] é igual a [tex]1[/tex] é trivialmente satisfeita. Assim, consideremos daqui para frente que [tex]n \gt 0\,.[/tex]
Sabemos que
[tex]\qquad 9^{2n} = (9^{2})^{n}= 81^{n}. \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Por outro lado, fazendo [tex]a=81[/tex] no Lembrete, segue que:
[tex]\qquad 81^{n}-1= (81-1)(81^{n-1} + 81^{n-2} + \dots + 81 +1)\\
\qquad 81^{n}-1 = 80\cdot (81^{n-1} + 81^{n-2} + \dots + 81 +1)\\
\qquad 81^{n} = 80\cdot (81^{n-1} + 81^{n-2} + \dots + 81 +1)+1. \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Assim, de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], temos que:
[tex]\qquad 9^{2n}=81^{n}[/tex]
[tex]\qquad 9^{2n}=80\cdot (81^{n-1} + 81^{n-2} + \dots + 81 +1)+1[/tex]
[tex]\qquad 9^{2n}=10\cdot \left[8\cdot (81^{n-1} + 81^{n-2} + \dots + 81 +1)\right]+1[/tex],
ou seja,
[tex]\qquad 9^{2n}=10q+1[/tex], com [tex] q=8\cdot (81^{n-1} + 81^{n-2} + \dots + 81 +1)[/tex].
Para finalizar, observe que [tex] q=8\cdot (81^{n-1} + 81^{n-2} + \dots + 81 +1)[/tex] é um número natural; logo, como
[tex]\qquad 9^{2n}=10q+1[/tex], com [tex] q \in \mathbb{N}[/tex],
o algarismo das unidades de [tex]9^{2n}[/tex] é igual a [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.