.Problema: Números das portas de um hotel

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)

Num corredor do Hotel Mares do Sul, as portas estão numeradas com números de dois algarismos. Um hóspede percebeu que os números das seis portas do corredor onde estava hospedado eram consecutivos e que a soma dos algarismos de suas dezenas era igual à soma dos algarismos das unidades.
Quais os números dessas portas?

Solução

Para resolver o problema, vamos considerar os quatro casos possíveis com relação ao algarismo das dezenas. Na análise de cada caso, é importante lembrar que os números das portas são consecutivos. Portanto, os algarismos das unidades são consecutivos e os algarismos das dezenas ou são iguais ou são dois algarismos consecutivos.

  • Caso 1: Todos os seis algarismos das dezenas são iguais

    • [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \, c\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#AFEEEE}{$ \, c\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#E6E6FA}{$ \, c\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#FFFF00}{$ \, c\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#87CEFF}{$ \, c\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#FFBBFF}{$ \, c\underline{ \, } \, $} \, [/tex]

    Vamos supor que o algarismo da dezena de cada número seja [tex]k[/tex], com [tex]k\in\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9\}[/tex]. Neste caso, como a soma das dezenas é [tex]k+k+k+k+k+k=6k[/tex], então essa soma, e consequentemente a soma das unidades, é múltipla de [tex]6[/tex]. Sabemos que os algarismos das unidades são consecutivos, assim, temos as seguintes situações possíveis:

    • Algarismos das unidades [tex]0, 1, 2, 3, 4, 5[/tex]: note que a soma desses algarismos é [tex]15[/tex] e [tex]15[/tex] não é múltiplo de [tex]6[/tex].
    • Algarismos das unidades [tex]1, 2, 3, 4, 5, 6 [/tex]: aqui a soma dos algarismos é [tex]21[/tex], que não é múltiplo de [tex]6[/tex].
    • Algarismos das unidades [tex]2, 3, 4, 5, 6, 7[/tex]: a soma desses algarismos é [tex]27[/tex], que também não é múltiplo de [tex]6[/tex].
    • Algarismos das unidades [tex]3, 4, 5, 6, 7, 8 [/tex]: temos que a soma desses algarismos é [tex]33[/tex], que não é múltiplo de [tex]6[/tex].
    • Algarismos das unidades [tex]4, 5, 6, 7, 8, 9[/tex]: a soma dos algarismos é [tex]39[/tex] e [tex]39[/tex] também não é múltiplo de [tex]6[/tex].

    Dessa forma, nenhuma dessas situações resulta em solução para o problema.

  • Caso 2: "Cinco algarismos das dezenas iguais" e "um diferente"

    • [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \, b\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#AFEEEE}{$ \, c\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#E6E6FA}{$ \, c\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#FFFF00}{$ \, c\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#87CEFF}{$ \, c\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#FFBBFF}{$ \, c\underline{ \, } \, $} \, [/tex]
    [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \, c\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#AFEEEE}{$ \, c\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#E6E6FA}{$ \, c\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#FFFF00}{$ \, c\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#87CEFF}{$ \, c\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#FFBBFF}{$ \, b\underline{ \, } \, $} \, [/tex]

    Aqui, temos duas possibilidades para os algarismos das dezenas:

    • Cinco dezenas iguais a [tex]k[/tex] e uma igual a [tex]k+1[/tex], com [tex]k\in\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}[/tex]
      Neste caso a soma das dezenas, e consequentemente a soma das unidades, é [tex] \boxed{6k +1}[/tex] e, como os algarismos das unidades são consecutivos, essas unidades são necessariamente [tex] 5, 6, 7, 8, 9 \, [/tex] e [tex] \, 0 [/tex]. Mas perceba que a soma desses algarismos é [tex]35 = 6\cdot 6 -1[/tex] e esta soma não é da forma [tex] \boxed{6k +1}.[/tex]
    • Uma dezena igual a [tex]k-1[/tex] e cinco dezenas iguais a [tex]k[/tex], com [tex]k\in\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9\}[/tex]
      Neste caso, a soma das dezenas, e consequentemente a das unidades, é [tex] \boxed{6k -1}[/tex] e, como os algarismos das unidades são consecutivos, essas unidades são necessariamente [tex] 9, 0, 1, 2, 3 \, [/tex] e [tex] \, 4 [/tex]. Note que a soma desses algarismos é [tex]19=6\cdot 3+1[/tex]; logo, a soma das unidades não é da forma [tex] \boxed{6k -1}.[/tex]

    Pelo exposto, nenhuma dessas situações resulta em solução para o problema.

  • Caso 3: "Um grupo de quatro algarismos das dezenas iguais" e "um grupo de dois algarismos das dezenas iguais, mas diferentes dos quatro do outro grupo"

    • [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \, b\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#AFEEEE}{$ \, b\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#E6E6FA}{$ \, c\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#FFFF00}{$ \, c\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#87CEFF}{$ \, c\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#FFBBFF}{$ \, c\underline{ \, } \, $} \, [/tex]
    [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \, c\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#AFEEEE}{$ \, c\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#E6E6FA}{$ \, c\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#FFFF00}{$ \, c\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#87CEFF}{$ \, b\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#FFBBFF}{$ \, b\underline{ \, } \, $} \, [/tex]

    Novamente, temos duas possibilidades para os algarismos das dezenas:

    • Dois algarismos das dezenas iguais a [tex]k[/tex] e quatro iguais a [tex]k+1[/tex], com [tex]k\in\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}[/tex]
      Neste caso a soma das dezenas, e consequentemente a soma das unidades, é [tex] \boxed{6(k+1)-2}[/tex] e, como os algarismos das unidades são consecutivos, essas unidades são necessariamente [tex] 8, 9, 0, 1, 2, \, [/tex] e [tex] \, 3 [/tex]. Mas perceba que a soma desses algarismos é [tex]23= 6\cdot 4 – 1[/tex] e esta soma não é da forma [tex] \boxed{6(k+1)-2}.[/tex]
    • Quatro iguais a [tex]k-1[/tex] e dois iguais a [tex]k[/tex], com [tex]k\in\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9\}[/tex]
      Neste caso, a soma das dezenas, e consequentemente a das unidades, é [tex] \boxed{6(k-1)+2}[/tex] e, como os algarismos das unidades são consecutivos, essas unidades são necessariamente [tex]6, 7, 8, 9, 0, \, [/tex] e [tex] \, 1 [/tex]. Note que a soma desses algarismos é [tex]31 = 6\cdot 5 +1[/tex]; logo, a soma das unidades não é da forma [tex] \boxed{6(k-1)+2}.[/tex]

    Aqui também nenhuma situação resulta em solução para o problema.

  • Caso 4: "Três algarismos das dezenas do tipo [tex]k[/tex] e três do tipo [tex]k+1[/tex], com [tex]k\in\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}[/tex]"

    • [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \, b\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#AFEEEE}{$ \, b\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#E6E6FA}{$ \, b\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#FFFF00}{$ \, c\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#87CEFF}{$ \, c\underline{ \, } \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#FFBBFF}{$ \, c\underline{ \, } \, $} \, [/tex]

    Neste caso, a soma das dezenas será da forma [tex]6k+3 [/tex] e os algarismos das unidades serão, necessariamente, os elementos do conjunto [tex]\{7, 8, 9, 0, 1, 2\}[/tex].
    Veja que a soma desses algarismos é [tex]27=6\cdot 4+3[/tex]; assim, fazendo [tex]k=4[/tex], encontramos uma solução possível: [tex]47, 48, 49, 50, 51, 52.[/tex]

Portanto, os números das portas são:

[tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \, 47 \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#AFEEEE}{$ \, 48 \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#E6E6FA}{$ \, 49 \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#FFFF00}{$ \, 50 \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#87CEFF}{$ \, 51 \, $}\qquad \fcolorbox{black}{#FFBBFF}{$ \, 52 \, $} \, .[/tex]

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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