Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Difícil achar um adjetivo para qualificar o que Santos e Flamengo fizeram em uma certa quarta-feira à noite, na Vila Belmiro, pela 12ª rodada do Brasileirão de 2011.
Um show, um concerto, um espetáculo?
É pouco. Foi, enfim, um jogo histórico, que será lembrado por muito tempo. No fim, o Flamengo, de Ronaldinho Gaúcho, acabou levando a melhor sobre o Santos, num 5 a 4 de encher os olhos, para apagar da memória dos torcedores brasileiros o burocrático futebol apresentado pela Seleção Brasileira na Copa América.
Para assistir ao vídeo e curtir alguns belos gols, é só clicar na setinha!
De quantas maneiras distintas o placar desse jogo poderia evoluir de "0 a 0" para "5 a 4", a favor do Flamengo, levando‐se em conta APENAS a ordem em que os times construíram a sequência dos 9 gols?
Solução
Vamos representar os gols do Flamengo por "[tex] \, F \, [/tex]" e do Santos por "[tex] \, S \, [/tex]".
Vamos explicitar algumas soluções:
- O Flamengo faz os cinco gols e depois o Santos faz quatro: [tex](FFFFFSSSS)[/tex];
- O Santos faz os quatro gols e o Flamengo faz os cinco gols: [tex](SSSSFFFFF)[/tex];
- Os gols dos dois times são intercalados: [tex](FSFSFSFSF).[/tex]
Perceba que, matematicamente, estamos interessados nos anagramas da "palavra" [tex]FFFFFSSSS \, [/tex], ou de outra forma, nas permutações distintas das letras [tex]FFFFFSSSS \, . [/tex]
Assim, como existem [tex]\dfrac{9!}{5!\times 4!}=126[/tex] anagramas para [tex]\boxed{FFFFFSSSS} \, [/tex], teremos [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$126$} \, [/tex] maneiras de alcançar o placar, levando-se em conta apenas a ordem em que os nove gols foram marcados.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.