Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(Fundamentos de Matemática, Vol 1 – Adaptado) Sejam [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] inteiros positivos tais que [tex]m,n[/tex] são ímpares consecutivos, nessa ordem, e que [tex]m\cdot n=1599[/tex].
Calcule o valor de [tex]m+n[/tex].
Solução 1
Como [tex]m, n[/tex] são ímpares consecutivos, vamos considerar [tex]m=2a+1[/tex] e [tex]n=2a+3[/tex], com [tex]a\in \mathbb{Z}[/tex]. Sendo [tex]m\cdot n=1599[/tex] obtemos
[tex]\qquad (2a+1)\cdot (2a+3)= 1599\\
\qquad 4a^2+8a+3=1599\\
\qquad 4a^2+8a-1596=0.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Vamos resolver a equação do [tex]2^{\circ}[/tex] grau [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex].
Para isso, observe que
[tex]\qquad \Delta=8^2-4\cdot 4\cdot (-1596)=25600[/tex];
e, portanto:
[tex]\qquad a=\dfrac{-8\pm \sqrt{25600}}{2\cdot 4}\\
\qquad a=\dfrac{-8\pm 160}{8}.[/tex]
Dessa forma, obtemos duas soluções para a equação [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex]:
[tex] \qquad a_1=\dfrac{-8+160}{8}=19 \qquad [/tex] e [tex]\qquad a_2=\dfrac{-8-160}{8}=-21.[/tex]
Como [tex]m, n[/tex] são inteiros positivos o valor adequado é [tex]\boxed{a=19} \, .[/tex] Assim,
[tex] \qquad m+n=(2a+1)+(2a+3)=(2\cdot 19+1)+(2\cdot 19+3)= 39+41= \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$80$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Fatorando o número [tex]1599[/tex] como produto de primos, obtemos que [tex]1599=1\cdot 3 \cdot 13\cdot 41[/tex]. Assim, temos as seguintes possibilidades para os valores de [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex]:
- [tex]m=1[/tex] e [tex]n=1599[/tex];
- [tex]m=3[/tex] e [tex]n=533[/tex];
- [tex]m=13[/tex] e [tex]n=123[/tex];
- [tex]m=39[/tex] e [tex]n=41[/tex].
Como [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] são ímpares consecutivos, nessa ordem, então [tex]m=39[/tex] e [tex]n=41[/tex]. Portanto, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$m+n=39+41=80$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.