Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Mostre que, em qualquer grupo de cinco pessoas, duas delas têm o mesmo número de amigos no grupo.
Solução 1
Em um grupo de 5 amigos uma pessoa pode ser, no máximo, amigo de 4 pessoas, já que ela não pode ser amiga dela mesma.
Para que cada pessoa tenha um número de amigos diferentes, a primeira tem que ter 0 amigos, a segunda tem que ter 1 amigo, e assim sucessivamente, até que a última terá 4 amigos.
Se uma pessoa tem 4 amigos nesse grupo, então ela é amiga da pessoa que tem 0 amigos, então a pessoa que tem 0 amigos tem 1 amigo, o que é uma contradição.
Portanto, há, no mínimo, duas pessoas com a mesma quantidade de amigos.
Solução elaborada pelo COM Os Nóbregas, com contribuições dos Moderadores do Blog.
Solução 2
Existem cinco números possíveis de amigos para qualquer pessoa: 0, 1, 2, 3 ou 4.
Deste modo, parece que cada pessoa poderia ter um número diferente de amigos; entretanto, se alguém tem 4 amigos, nenhuma pessoa pode ter 0 amigo. Pelo Princípio das Casas dos Pombos(*), tomando as pessoas como pombos e os números de amigos como as casas (temos cinco pombos para distribuir em quatro casas), podemos afirmar que há duas dessas pessoas que têm o mesmo número de amigos no grupo.
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(*)Se você não conhece o Princípio das Casas dos Pombos, visite esta Sala |
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participou da discussão o Clube: Os Nóbregas.