Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
A imagem a seguir mostra o gráfico de uma função real [tex]h[/tex].
Quantas soluções reais possui a equação [tex]h(|x|)=-2[/tex] no intervalo [tex]]-4,4[[/tex]?
Solução
A partir do gráfico da função [tex]h[/tex], podemos esboçar o gráfico da função [tex]k[/tex] definida por [tex]k(x)=h(|x|).[/tex] Particularmente nos interessará o gráfico no intervalo [tex]]-4,4[[/tex].
Como [tex]k(x)=h(x)[/tex], se [tex]x\geq0[/tex], e [tex]k(x)=h(-x)[/tex], se [tex]x\lt 0[/tex], então:
- no intervalo [tex][0,+\infty[[/tex], o gráfico da função [tex]k[/tex] será igual ao da [tex]h[/tex];
- no intervalo [tex]]-\infty,0[[/tex], para obter o gráfico de [tex]k[/tex] devemos refletir o gráfico de [tex]h[/tex] em relação ao eixo [tex]y[/tex].
Assim, para encontrarmos quantas soluções a equação [tex]h(|x|)=-2[/tex] possui no intervalo [tex]]-4,4[[/tex], basta contarmos quantas vezes a função [tex]k[/tex] assumiu o valor [tex]-2[/tex] e para isso:
- basta contarmos quantas são as interseções do gráfico de [tex]g[/tex] com a reta [tex]y=-2[/tex] no intervalo [tex]]-4,4[[/tex].
Portanto, a equação possui [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$4 \text{ soluções}$}[/tex] no intervalo [tex]]-4,4[.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.