.Problema: Formação de mesa redonda

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)

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Em uma conferência acadêmica, há 12 palestrantes, dos quais 8 são especialistas em matemática, 7 são especialistas em física e exatamente 3 são especialistas em matemática e física. A conferência irá selecionar alguns palestrantes para uma mesa redonda e as seguintes condições devem ser atendidas:

• A mesa redonda deve ter 3 especialistas em matemática e 3 especialistas em física.
• Entre os palestrantes da mesa redonda, deve haver pelo menos 1 que é especialista em matemática e física.

Quantas diferentes mesas redondas podem ser formadas, respeitando essas condições?

Solução

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O problema afirma que, dos 12 palestrantes, 8 são especialistas em matemática, mas não diz que são especialistas apenas em matemática, ou seja, dentre eles estão os que são especialistas em matemática e em física também. Da mesma forma, o problema afirma que 7 são especialistas em física, mas não diz que são especialistas apenas em física, ou seja, dentre eles estão os que são especialistas em física e em matemática também. Para entender essa situação, é importante criarmos um diagrama de Venn, iniciando o seu preenchimento pela restrição “exatamente 3 são especialistas em matemática e física”. Assim, temos

Portanto, existem

• 5 palestrantes com especialização apenas em matemática;
• 4 palestrantes com especialização apenas em física;
• 3 palestrantes com especialização em matemática e física.

Observe que o problema exige que tenha pelo menos um especialista em matemática e em física na mesa redonda. Assim, podem haver 1, 2 ou 3 especialistas em matemática e física. A única coisa que não pode ocorrer é nenhum deles compor a mesa redonda.
Vamos analisar agora cada um desses três casos:

1. Existem 3 possibilidades de apenas um especialista nas duas áreas compor a mesa. Neste caso, a mesa ainda precisa ser ocupada por mais 2 especialistas apenas em matemática e 2 especialistas apenas em física, pois assim teremos cumprido as duas restrições do problema.
   O total de modos de selecionar esses 4 outros palestrantes é [tex]C_{5,2}\cdot C_{4,2} = 10\cdot 6 = 60[/tex].
   Assim, o total de modos de compor a mesa, neste caso, é [tex]3\cdot 60 = \boxed{180}.[/tex]
2. Existem 3 possibilidades de apenas dois dos três especialistas nas duas áreas comporem a mesa. Neste caso, a mesa ainda precisa ser ocupada por mais 1 especialista apenas em matemática e 1 especialista apenas em física, pois assim teremos cumprido as duas restrições do problema.
   O total de modos de selecionar esses 2 outros palestrantes é [tex]C_{5,1}\cdot C_{4,1} = 5\cdot 4 = 20[/tex].
   Assim, o total de modos de compor a mesa, neste caso, é [tex]3\cdot 20 = \boxed{60}.[/tex]
3. Existe 1 possibilidade de os três especialistas nas duas áreas comporem a mesa. Neste último caso, a mesa não precisa mais ser ocupada por outros palestrantes, uma vez que esta já possui 3 especialistas em matemática e 3 especialistas em física. Assim, o total de modos de compor a mesa neste último caso é [tex]\boxed{1}.[/tex]

Logo, o total de modos diferentes de compor a mesa redonda é [tex]180+60+1 = \boxed{241}.[/tex]

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.