Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
O preço de uma determinada fruta costuma variar ao longo do ano, de acordo com a época de colheita. Durante os períodos de colheita farta, o preço tende a ser mais baixo, devido ao aumento da oferta. Já nos períodos de entressafra, quando a oferta é menor, o preço costuma ser mais elevado.
A função a seguir representa o preço, em reais, de um quilo dessa fruta, em função do tempo, expresso em meses. Aqui, [tex]t = 0[/tex] corresponde ao mês de janeiro:
Em qual mês o preço da fruta atinge seu valor máximo?
Adaptado de Simulado SAS.
Solução
Queremos encontrar o mês no qual o preço da fruta é máximo. Dessa forma, o valor do cosseno deve ser mínimo, ou seja, devemos ter
[tex]\qquad \cos \left[ \dfrac{\pi (t-1)}{6} \right]=-1.[/tex]
Pelas propriedades da função cosseno, esse valor mínimo é atingido quando
[tex]\qquad \dfrac{\pi (t-1)}{6}= \pi +2 \cdot k \cdot \pi,[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{(t-1)}{6}= 1+2 \cdot k,[/tex]
[tex]\qquad t-1=6+12k,[/tex]
[tex]\qquad t=7+12k,\quad k \in \mathbb{Z}.[/tex]
Como [tex]t=0[/tex] corresponde a janeiro, [tex] t=7[/tex] representa o mês de agosto. Assim, o preço é máximo no mês de agosto. Veja que o termo [tex]12k[/tex] indica que a periodicidade desse valor é de [tex]12[/tex] meses. Por causa da periodicidade, a variação do preço de produtos sazonais é frequentemente modelada por funções trigonométricas.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.