Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
(FEI, SP, 2016 – Adaptado) Considere a função [tex]f[/tex] definida no conjunto dos números reais por [tex]f(x)=x^2+bx+c\,.[/tex]
Sabendo que [tex]f[/tex] é nula tanto para [tex]x=r[/tex] como para [tex]x=3r[/tex] e que seu valor mínimo é [tex]-9[/tex], calcule o valor de [tex]r\,.[/tex]
Lembretes
Dada uma função do [tex]2^{\circ}[/tex] grau definida por [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex]:
(1) se as raízes de [tex]f[/tex] são [tex]x_1[/tex] e [tex]x_2[/tex], então [tex]x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\,\,[/tex] e [tex]\,\, x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}[/tex].
(2) se [tex]a\gt 0[/tex], então o valor mínimo de [tex]f[/tex] é dado por [tex]-\dfrac{\Delta}{4a}[/tex], ou seja, [tex]-\dfrac{(b^2-4ac)}{4a}[/tex].
Solução
Observe, inicialmente, que [tex]r[/tex] e [tex]3r[/tex] são raízes de [tex]f[/tex], já que a função é nula para esses valores. Assim, do Lembrete (1), segue que
[tex]\qquad \qquad \begin{cases} r+3r=-b\\
r\cdot 3r=c \end{cases}[/tex]
ou seja,
[tex]\qquad \qquad \begin{cases} b=-4r\\
c=3r^2 \end{cases}.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Agora, como valor mínimo da função [tex]f[/tex] é [tex]-9[/tex], do Lembrete [tex](2)[/tex], temos que:
[tex]\qquad \qquad -\dfrac{(b^2-4\cdot 1\cdot c)}{4\cdot 1}=-9[/tex],
ou seja,
[tex]\qquad \qquad b^2-4c=36. \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Substituindo [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] temos:
[tex]\qquad (-4r)^2-4(3r^2)=36[/tex]
[tex]\qquad 16r^2-12r^2=36[/tex]
[tex]\qquad 4r^2=36[/tex]
[tex]\qquad r^2=9[/tex]
[tex]\qquad r=\pm \sqrt{9}[/tex]
[tex]\qquad r=\pm 3[/tex].
Assim, os possíveis valores de [tex]r[/tex] são [tex]3[/tex] ou [tex]-3[/tex]. Vamos verificar se esses dois valores, de fato, satisfazem as condições do problema.
- Se [tex]r=3[/tex], de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], temos que [tex]b=-12[/tex] e [tex]c=27[/tex], ou seja, [tex]f(x)=x^2-12x+27[/tex].
Com isso,
[tex]\qquad f(3)=3^2-12\cdot 3+27=9-36+27=0 \quad[/tex] e [tex]\quad f (9)=9^2-12\cdot 9+27=81-108+27=0[/tex]
e, assim, [tex]r=3[/tex] satisfaz as condições do problema. - Se [tex]r=-3[/tex], de [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], temos que [tex]b=12[/tex] e [tex]c=27[/tex], ou seja, [tex]f(x)=x^2+12x+27[/tex].
Com isso,
[tex]\qquad f(-3)=(-3)^2+12\cdot(-3) +27=9-36+27=0\quad [/tex] e [tex]\quad f(9)=(-9)^2+12\cdot (-9)+27=81-108+27=0[/tex]
e, assim, [tex]r=-3[/tex] também satisfaz as condições do problema.
Portanto, temos dois possíveis valores para [tex]r[/tex]: [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$3$}\,[/tex] e [tex]\, \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$-3$}\,.[/tex]
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