Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Um número natural [tex]n[/tex], quando dividido por [tex]31[/tex], deixa resto [tex]r[/tex] e, quando dividido por [tex]17[/tex], deixa resto [tex]2r[/tex].
(a) Qual é o maior valor possível para [tex]r[/tex]?
(b) Se o quociente da primeira divisão for [tex]4[/tex] e o quociente da segunda divisão for [tex]7[/tex], calcule o valor de [tex]n[/tex].
Solução
Duas observações iniciais:
- indicando por [tex]q_1[/tex] o quociente da divisão de [tex]n[/tex] por [tex]31[/tex] temos [tex]n = 31q_1 + r[/tex], com [tex]r \lt 31; \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
- indicando por [tex]q_2[/tex] o quociente da divisão de [tex]n[/tex] por [tex]17[/tex] temos [tex]n = 17q_2 + 2r[/tex], com [tex]2r \lt 17[/tex], ou ainda, [tex]r \lt 8,5.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)} [/tex]
Vamos aos itens.
(a) Lembre-se de que [tex]r[/tex] é inteiro; assim, o maior inteiro que atende simultaneamente às desigualdades [tex]\textcolor{#800000}{(i)} \, [/tex] e [tex] \, \textcolor{#800000}{(ii)} [/tex] é o [tex]8[/tex].
Além disso, podemos verificar que, por exemplo, ao dividir [tex]n=101[/tex] por [tex]31[/tex] o resto será [tex]8[/tex] e ao dividir [tex]n=101[/tex] por [tex]17[/tex] o resto será [tex]16[/tex].
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[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r} 101 \, \end{array} \begin{array}{|r} \, 31 \, \\ \hline \end{array}[/tex] [tex]\qquad \qquad\begin{array}{r} \,\,\,\,\,8 \end{array}\begin{array}{r} \,\,\,\,\,\,\,\,3 \end{array}[/tex] |
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r} 101 \, \end{array} \begin{array}{|r} \, 17 \, \\ \hline \end{array}[/tex] [tex]\qquad \qquad\begin{array}{r} \,\,16 \end{array}\begin{array}{r} \,\,\,\,\,\,\,\,5 \end{array}[/tex] |
Assim, o maior valor que satisfaz o enunciado para algum natural [tex]n[/tex] é, de fato, [tex]8[/tex].
(b) Sendo [tex]q_1 = 4 \, [/tex] e [tex] \, q_2 = 7[/tex], temos [tex]\boxed{n = 31 \cdot 4 + r} \, [/tex] e [tex] \, \boxed{n = 17\cdot7 +2r}[/tex].
Multiplicando a primeira equação por dois e subtraindo membro a membro a equação resultante e a segunda equação, segue que:
[tex]\qquad 2n-n = 2 \cdot (31 \cdot 4 + r)-( 17 \cdot 7 + 2r)[/tex]
[tex]\qquad n = 248 + 2r-119-2r[/tex]
[tex]\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n = 129$} \, [/tex].
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