Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Na divisão euclidiana de dois inteiros positivos [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], com [tex]a\gt b[/tex], o quociente é [tex]16[/tex] e o resto é o maior possível. Encontrar [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], sabendo que [tex]a+b=341[/tex].
Ajuda
Algoritmo de Euclides ou Divisão Euclidiana
Sejam [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] números naturais, com [tex]b\ne 0.[/tex]
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[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r} a \, \end{array} \begin{array}{|r} \, b \, \, \, \\ \hline \end{array}[/tex] [tex]\qquad \qquad\begin{array}{r} r \end{array}\begin{array}{r} \, \, \, q \end{array}\qquad \qquad[/tex] |
Ao dividirmos [tex]a[/tex] por [tex]b[/tex] encontraremos um quociente [tex]q [/tex] e um resto [tex]r [/tex], naturais e únicos, tais que: [tex] \, \, \, \\ \textcolor{#800000}{(1)} \, \, \, \, \, \, 0 \le r \lt b \, \, \, \, \, \, \,\qquad \textcolor{#800000}{(2)} \, \, a=q \, b+r.[/tex] |
Solução
Pelo processo de Divisão Euclidiana, a partir das hipóteses do problema podemos concluir que existe um inteiro [tex]r[/tex] de modo que [tex]\boxed{a= 16\cdot b+r}[/tex], com [tex]0\leq r \lt b[/tex].
Como [tex]a+b=341[/tex], vem que [tex]\boxed{a=341-b}[/tex] e, então, segue que:
[tex]\qquad 341-b=16\cdot b+r[/tex]
[tex]\qquad 17b+r=341\,. \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(*)}[/tex]
Como [tex]r[/tex] deve ser o maior valor possível temos que [tex]\boxed{r=b-1}[/tex]. Assim, por [tex] \textcolor{#800000}{(*)}[/tex]:
[tex]\qquad 17b+(b-1)=341[/tex]
[tex]\qquad 18b=342[/tex]
[tex]\qquad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$b=19$}\,.[/tex]
Portanto, [tex]a=341-19[/tex], ou seja, [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a=322$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.