Problema
(Indicado a partir da 2ª série do E. M.)
Um brinquedo comum em parques de diversões consiste em um carro com cinco bancos para duas pessoas cada e que descreve sobre trilhos, em alta velocidade, uma certa trajetória não muito “radical”. Suponha que haja cinco adultos, cada um deles acompanhado de uma criança, e que, em cada banco do carro, devam acomodar-se, por segurança, uma criança e o seu responsável. De quantos modos podem as dez pessoas ocupar os cinco bancos?
Adaptado de Unirio.
Solução 1
Vamos chamar de [tex]A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}[/tex] e [tex]A_{5}[/tex] os adultos e [tex]C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}[/tex] e [tex]C_{5}[/tex] as crianças.
Pelas informações do enunciado, note que:
Há [tex]10[/tex] modos de acomodar o adulto [tex]A_{1}[/tex];
Há [tex]8[/tex] modos de acomodar o adulto [tex]A_{2}[/tex];
Há [tex]6[/tex] modos de acomodar o adulto [tex]A_{3}[/tex];
Há [tex]4[/tex] modos de acomodar o adulto [tex]A_{4}[/tex]; e
Há [tex]2[/tex] modos de acomodar o adulto [tex]A_{5}[/tex].
Acomodado os adultos, vamos acomodar as crianças, assim:
Há [tex]1[/tex] modo de acomodar a criança [tex]C_{1}[/tex];
Há [tex]1[/tex] modo de acomodar a criança [tex]C_{2}[/tex];
Há [tex]1[/tex] modo de acomodar a criança [tex]C_{3}[/tex];
Há [tex]1[/tex] modo de acomodar a criança [tex]C_{4}[/tex]; e
Há [tex]1[/tex] modo de acomodar a criança [tex]C_{5}[/tex].
Pelo princípio multiplicativo, há [tex]10 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot1=3840[/tex] maneiras de organizar as [tex]10[/tex] pessoas.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Para responder essa questão vamos imaginar cada adulto com uma criança como sendo uma única pessoa, já que a criança deve estar junta de seu responsável. Então devemos distribuir eles entre os [tex]5[/tex] bancos, o que pode ser feito de [tex]5!=120[/tex] maneiras. Agora, dentro de cada banco, há [tex]2[/tex] maneiras de posicionar a criança e o responsável. Portanto, o total de combinações possível é [tex]5! \times 2^5[/tex], que resulta em [tex]3840[/tex] maneiras de acomodar as [tex]10[/tex] pessoas.
Solução elaborada pelo COM Phidias.