.Problema: Dígitos

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

Quantos dígitos possui o número $123456789^{2}$ ?

Solução

Uma forma de resolver esta questão seria calcular este número e contar seus dígitos, mas isto será muito trabalhoso para números muito maiores que $123456789$.
Vamos, então, por outro caminho.

• Observe que se um número $a$ tiver apenas um dígito ele verifica $10^0\leq a \lt 10^1$; se tiver dois dígitos, então $10^1\leq a \lt 10^2$ e assim sucessivamente.
  Como o número $123456789$ possui nove dígitos então $10^8\leq 123456789 \lt 10^9$.
  De $10^8\leq 123456789 \lt 10^9$, segue que $10^{16}\leq 123456789^{2} \lt 10^{18}$ e esta última desigualdade mostra que:

$\hspace{3cm} \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$\text{o número } 123456789^{2}\, \text{possui 17 ou 18 dígitos}$}\,.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}$

• Mas, por outro lado, $123456789\lt 130000000=13 \times 10^7$ e, com isso,

$\, \hspace{3cm} \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$123456789^2\lt 13^2 \times 10^{14}=16900000000000000$}\,.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}$

Portanto, por $\textcolor{#800000}{(i)}$ e $\textcolor{#800000}{(ii)} \,$, o número $123456789^{2}$ possui $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$17$}$ dígitos.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.