.Problema: Determine o valor de x

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)

Solução

Observe que
[tex]\qquad \sqrt[3]{25}=25^{\frac{1}{3}}[/tex];
[tex]\qquad \sqrt[3]{\sqrt[3]{25}}=25^{\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}}=25^{\frac{1}{9}}[/tex];
[tex]\qquad \sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{25}}}=25^{\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}}=25^{\frac{1}{27}}[/tex];
e assim sucessivamente.

Podemos então escrever [tex]x[/tex] como
[tex]\qquad \begin{align*}x&=\sqrt[3]{25\sqrt[3]{{25}\sqrt[3]{{25}\sqrt[3]{{25}\sqrt[3]{{25}\cdots}}}}}\\
&=\sqrt[3]{25}\sqrt[3]{\sqrt[3]{{25}\sqrt[3]{{25}\sqrt[3]{{25}\sqrt[3]{{25}\cdots}}}}}\\
&=\sqrt[3]{25}\sqrt[3]{\sqrt[3]{{25}}}\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{{25}\sqrt[3]{{25}\sqrt[3]{{25}\cdots}}}}}\\
&=\sqrt[3]{25}\sqrt[3]{\sqrt[3]{{25}}}\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{{25}}}}\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{{25}\sqrt[3]{{25}\cdots}}}}}\\
&\vdots\\
&=25^{\frac{1}{3}}\times 25^{\frac{1}{9}}\times 25^{\frac{1}{27}}\times 25^{\frac{1}{81}}\cdots\end{align*}[/tex]

Dessa forma, temos que
[tex]\qquad x=25^{\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\cdots}. \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Observe que o expoente [tex]{\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\cdots}[/tex] é a soma dos termos de uma Progressão Geométrica (PG) infinita, em que o primeiro valor é [tex]a_1=\dfrac{1}{3}[/tex] e a razão é [tex]q=\dfrac{1}{3}.[/tex] Como [tex]|q|\lt 1[/tex], podemos utilizar a fórmula da soma de infinitos termos de uma PG, [tex]\boxed{S_\infty=\frac{a_1}{1-q}}[/tex] e, no nosso caso, obter:

[tex]\qquad S_\infty=\dfrac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}[/tex]

[tex]\qquad S_\infty=\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}[/tex]

[tex]\qquad S_\infty=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3}{2}[/tex]

[tex]\qquad S_\infty=\dfrac{1}{2}[/tex].

Assim, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=25^\frac{1}{2}=\sqrt{25}=5$} \, .[/tex]

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.