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Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Sabendo que a parábola determinada pela função quadrática [tex]f(x) = ax^2+bx+c[/tex] passa pelos pontos [tex](-1,1), (-2,3)[/tex] e [tex](3,2)[/tex], encontre a lei de formação da função e a soma de suas raízes.
Solução
Como a parábola passa pelos pontos [tex](-1,1), (-2,3)[/tex] e [tex](3,2)[/tex], então:
[tex]\qquad f(-1) = 1,[/tex]
[tex]\qquad f(-2) = 3,[/tex]
[tex]\qquad f(3) = 2.[/tex]
Logo,
[tex]\qquad a(-1)^2+b(-1)+c = 1,[/tex]
[tex]\qquad a(-2)^2+b(-2)+c = 3,[/tex]
[tex]\qquad a\cdot 3^2+3b+c = 2.[/tex]
Assim, podemos montar o seguinte sistema de equações:
[tex]\qquad S:\begin{cases}a-b+c = 1\\
4a-2b+c = 3\\
9a+3b+c=2
\end{cases}.[/tex]
Multiplicando a primeira equação de [tex]S[/tex] por [tex]-1[/tex] e somando à segunda, obtemos [tex]\boxed{3a-b = 2}.[/tex]
Fazendo o mesmo com a primeira e terceira equações, obtemos [tex]\boxed{8a+4b=1}.[/tex]
A partir das duas últimas equações obtidas acima, podemos montar o seguinte sistema:
[tex]\qquad \begin{cases}3a-b = 2\\
8a+4b=1
\end{cases}.[/tex]
Multiplicando a primeira equação por [tex]4[/tex] e somando à segunda, obtemos
[tex]\qquad 20a = 9[/tex],
ou seja,
[tex]\qquad a = \dfrac{9}{20}. [/tex]
Substituindo o valor de [tex]a[/tex] na equação [tex]3a-b = 2[/tex], obtemos
[tex]\qquad b = \dfrac{27}{20}-2 = -\dfrac{13}{20}[/tex].
Agora, podemos substituir os valores de [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] em uma das equações do sistema [tex]S[/tex], a fim de encontrarmos o valor de [tex]c[/tex]. Assim,
[tex]\qquad \dfrac{9}{20}-\left(-\dfrac{13}{20}\right)+c = 1[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{22}{20}+c = 1[/tex]
[tex]\qquad c = 1-\dfrac{22}{20}[/tex]
[tex]\qquad c = -\dfrac{1}{10}.[/tex]
Logo, a lei de formação da função é [tex]~\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$f(x) = \dfrac{9}{20}x^2-\dfrac{13}{20}x-\dfrac{1}{10}$}\,.[/tex]
Pelas Relações de Girard (relações entre coeficientes e raízes de uma equação), obtemos que a soma das raízes da função do segundo grau dada é
[tex]\qquad Soma = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-\frac{13}{20}}{\frac{9}{20}}\\
\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$Soma = \dfrac{13}{9}$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.